COS

d'où

Multipliant par r^, il vient

ou

Or, si II est positif, les coefficients de x* et jr' sont de même signe, et la trajectoire est une ellipse ayant pour centre le point fixe, comme nous Pavions démontré syn- |hétiquement. Si f* est négatif, c'est-à-dire si la force est

lO GOUaS DE MEGAMIQUE.

répulsive, les coefficients sont de signes contraires, et la courbe est une hyperbole ayant encore le point fixe pour centre*

Dans ce dernier cas le mouvement n'est pas révolutif , et le point reste évidemment sur la même branche de Thyperbole.

8. La question que nous venons de traiter présente une circonstance dont on peut profiter pour obtenir directe-' ment les valeurs des coordonnées a: et j* en fonction de t-y ce qui donne la solution la plus complète de la question , puisque l'on connaît alors la position du mobile à chaque instant, et que tous les autres éléments du mouvement en dérivent immédiatement. Les équations générales du mouvement d'un point deviennent, eu supposant ^ r= p.r,

Les variables j: et ^ étant séparées, on peut intégrer chacune de ces équations, et Ton connaîtra j: et j' en fonction de /. On trouve d'abord, en supposant [l positif,

j? = A sin r. \/j -f- B cos /. y^/*, jr =z A' sin r. ^ ~h B' cos t. ^y,.

Prenons pour axe des x la ligne qui joint l'origine à la position initiale du point : désignons par r© la longueur de cette ligne, par ^o la vitesse initiale, par a l'angle formé par la direction de celte vitesse et celle de la droite menée de la position initiale vers l'origine. Enfin , prenons l'axe des y du même côté de l'axe des x que la direction initiale de la vitesse. On devra avoir pour f = o les conditions

j = o, x=r,^ -j^ =: ('. sin a , — = — ('„cosa.

UEUXIÈMB PAETIE. — DYNAMIQUE. \ \

Les quatre coefficients A , B, A', B' seront détermines par |à , et Ton aura , par suite ,

V9 ces a

f sin a

Ces équations renferment la solution complète du problème. Elles donnent pour x et y des valeurs périodiques 9 et la durée de I4 période est pour Tune et Tautre

air

-=? comme nous Pavions déjà trouvé.

En éliminant t entre elles, on trouve

{x sin a -{- j cos a)* -f- '-p j^^ = r J sin' a.

Ainsi, lorsque \i. est positif, c'est-à-dire quand la force est attractive, la courbe décrite est une ellipse dont le point fixe est le centre. Cette ellipse 3e réduirait à un cercle si l'on avait

Si fx est négatif, c'est-à-dire si la force est répulsive , les sinus et cosinus sont remplacés par des exponentielles^ mais on peut ce servir du calcul qui vient d'être fait, et opérer la transformation dans les résultats. L'équation de la trajectoire devient, par le changement de signe de fx, celle d^une hyperbole ayant le même centre, et les valeur^ de 07 et j^ prennent la forme suivante :

//^ pq cos a \ t>J7,(^ ypCosgN — /^

2 Vf- \

12 COtJAS DE M£GANft}UE.

Elles ne deviennent infinies que lorsque t lui-même le devient; ainsi le point mettrait un temps infini à parcourir la branche d'hyperbole sur laquelle il se trouve au commencement du mouvement.

9. Deuxième exemple. — Un point matériel décm>ant une section conique par V action d^une force dont la direction passe constamment par un foyer de , cette courbe, ti^ui'ér l'expression de cette force.

Quelle que soit cette section conique, son équation polaire peut être mise, comme on sait, sous la forme