I -h e cos Ô
p désignant le demi-paramètre, e l'excentricité; un foyer de la courbe étant pris pour pôle., et les angles étant comptés à partir de Taxe du côté , du sommet le plus voisin. La courbe sera une ellipse , une parabole ou une hyperbole, suivant qu'on aura
<?<^i, tf=i, É?]>i.
L'équation de la courbe donne
ou
£7 ces G ' »
ri '
c sin 6
Si Ton veut, comme dans l'exemple précédent, faire usage de la formule (3), on y reportera cette expression, dans laquelle on remplacera d'abord sin B par sa valeur en r, tirée de l'équation de la courbe, et Ton trouvera ainsi
^ ^ pr 2/?^
nEUXfÉMR PARTIE. — ' DT^AMIQUE. f3
d'où
Ce qui apprend d'abord qae la force est attractive vers le fojer, puisque la valeur de 9 est positive; et ensuite que son intensité varie en raison inverse du carré de la distance à ce point.
Il aurait été plus simple, dans le cas actuel, de faire usage de la formule (4). En effet, l'équation de la courbe donne immédiatement
r e cosd
et^ reportant dans Téquation (4) ) ou obtient
Nous ne développerons pas ici cette question , qui se reproduira bientôt à l'occasion du mouvement des planètes.
40. Réciproque. -»— Cherchons maintenant toutes les courbes que pourrait décrire un point attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.
Nous nous bornerons pour le moment à donner une solution synthétique de cette question.
Nous concevrons une section conique dont le point fijte serait un fojcr^ qui passerait par la position initiale du point, et serait tangente à la direction de la vitesse initiale et du même côté que le point fixe; enfin nous achèverons de la déterminer en ajoutant la condition que le carré de la vitesse initiale divisé par le rayon de courbure au point de départ soit égal à la force connue qui agit en ce point, estimée suivant là normale.
Cette dernière condition fait connaître le rayon de cour-
l4 COURS DE MÉCANIQUE. x
bure, et la section conique est complètement déterminée et unique. Nous verrons tout à Theure comment on peut lai construire avec ces données et reconnaître son espèce.
Cela posé) imaginons un point assujetti à se mouvoir sur cette courbe avec la même vitesse initiale que le point en question, et de telle manière que son rayon vecteur partant du point fixe décrive des aires proportionnelles au temps. D'après la proposition précédente, la force qui agira sur ce point sera dirigée vers le point fixe, et sou intensité sera en raison inverse du carré de la distance ^ de plus , il partira de la même position que le point proposé, et sa vitesse initiale sera la même en grandeur et en direction; enfin l'intensité de la force dirigée vers le point fixe sera la même au point de départ; car sa composante suivant la normale commune est égale au carré de la vitesse commune divisé par le rayon de courbure qui est le même. Donc la force à laquelle sera dû le mouvement sur cette section conique sera identique avec celle qui est donnée. Et comme, en vertu de cette force, le point en question, assujetti aux conditions initiales données, a son mouvement complète^ ment déterminé, ce mouvement ne peut différer de celui qui a lieu sur cette section conique.
Ainsi , un point attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance se meut nécessairement sur une section conique dont ce centre est uri foyer.
1 1 . Il reste à déterminer cette courbe d'après les données ^ qui sont le foyer de la courbe , ou de la braucbe de courbe s'il s'agit d'une hyperbole, un point et la tangente, ainsi que le rayon de courbure en ce point ; ce rayon de courbure devant être situé du même côté de la tangente que le foyer.
Soient F (fig* i) le foyer, M le point donné, PQ la tangente, et O le centre de courbure. On sait qu'en abaissant
DEUXIEME PAHTIE. — DYNAMIQUE. l5
de O une perpendiculaire OH sur MF, puis une seconde de H sur la normale , le pied K de cette dernière appartient à Taxe principal qui contient le foyer. Joignant donc FK, on aura la direction de cet axe; et le second foyer sera donne par la rencontre de cette droite avec la droite MN, menée par le point M sous un angle PMN, égal h FMQ. Si la rencontre a lieu du côté de QP où se trouve le foyer F, la courbe sera une ellipse ; elle sera une parabole si MN est parallèle à FK, et une hyperbole si la rencontre a lieu du côté opposé.
Or, il est facile de reconnaître, d'après les données initiales, lequel de ces trois cas arrivera. En e0et, soit menée par le point F une parallèle à MN, qui coupe en I la normale. Si Ton a MK < MI , FK rencontrera MN en un point F' situé du même côté que F par rapport à QP, et par conséquent la courbe sera une ellipse. Si Ton a MK = MI, la ligne FK sera parallèle k MN , et la courbe sera une parabole. Enfin , si Von a MK ^ MI , la ligne FK rencontrera le prolongement MN', et la courbe sera une ■hyperbole.
Il faut donc calculer MK et MI diaprés les données de la question. Or, MI étant la bissectrice de Fangle FMF', le triangle MFI est isocèle, et si l'on désigne Tangle connu FMO par e et la distance donnée FM par r© , on aura
MI = iir« ces 8.
Maintenant , d'après la manière dont le point K a été ob-
tenu , on a
lïlK = MO ces' f ,
et si Ton désigne par t^o 1^ vitesse initiale, la valeur de MO sera donnée par l'équation
l6 GOUtlS DE MECANIQUE.
f étant là force qui agît sur le point M, ettlont la valeur
est - ; on en déduira
MO = -!!-^ , et par suite MK = llIiLÎfi! .
|x ces e u
Comparant les deux expression^ obtenues pour MK et MI ^ et suppHmant le facteur commun Tq cos e , on voit que là trajectoire sera une ellipse , uhe parabole ou une byperbole^
suivant que ^l sera négatif, nul ou positif. Il est re-
marquable que la nature de la courbe ne dépende que de la vitesse et de la distance du mobile au centre d^attraction , au commencement du mouvement ^ et que la direction de la vitesse n'y entre pour rien.
On pourrait traiter cette question par Tanalyse en faisant usage de Féquation (3) ; on aurait à intégrer une équation différentielle du premier ordre entre r et 65 on reconnaî-^ trait facilement que V équation ainsi obtenue peut représenter les trois sections coniques, et Ton serait conduit aux mêmes caractères que nous venons de trouver pour en faire la distinction. Mais nous aurons occasion de levenir sur cette question , et nous effectuerons alors les calculs que nous ne faisons quMudiquer.
12. Troisième exemple. — Trouv^er la trajectoire dé^ crite par un point attiré vers un centre fixe, en raison inx^erse du cube de la dis lance.
Soient A (fig» 2) le. centre d'attraction, B le point dans sa position initiale, a l'angle que fait avec BA la direction BC de sa vitesse^ représentons toujours par v^ l'intensité de cette vitesse, et par /q la distance AB.
La formule (4), appliquée au cas actuel, où Ion a ç= — ^ »
DEUXIEME PAKTIB. — DYNAMIQUE. I7
donne
Nous distinguerons trois cas , suivant que Ton aura
, a .^ 1 négatif, nul ou positif. Dans tous les cas , la
vitesse f^ sera donnée par la formule
c' étant déterminé par les valeurs initiales de ff et r.
1**. Soit d^abord , , . , — i = o , ce qui est le cas le
r; (' J sm' a ^
plus simple ; Téquation précédente devient
--^=0, d'où - = AÔ-^B*
Pour déterminer les constantes A et 6 , nous remarquerons qu'au point B , par lequel, pour plus de simplicité, nous ferons* passer Taxe polaire , on doit avoir
Or, pour = 0, Féquation de la courbe donne
il en résultera donc
I ' cota B= — > A= y
l8 COURS DE MÉCANIQUE.
et l'équation de la trajectoire sera
