DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 2Q

tous les points du liquide à ces deux époques. Or, tous les points où les vitesses perpendiculaires au plan sont variables, formant à chaque instant un système identique, il s'ensuit que la valeur de ce second membre n'est autre chose que la différence entre les composantes des quantités de mouvement de la partie du liquide qui a quitté le plan et de celle dont la veine indéfinie a été diminuée. Or la première quantité est nulle y puisque le liquide quitte le plan avec une vitesse dont la composante normale au plan est nulle ^ il ne reste donc que la seconde quantité , dont la valeur est le produit de la quantité de liquide écoulée dans l'unité de temps, ou p(ùi^ par la vitesse (^ qu'elle avait, ce qui donne pwf^'.

L'équation précédente devient ainsi

R = — pwp*; La pression égale et contraire qu'éprouve le plan est donc

pwc'.

195. Supposons maintenant que le plan se transporte parallèlement à lui-même, et qu'il ne produise en chaque point que des forces normales , il sera inutile d'avoir égard à la composante de sa vitesse dans le sens du plan même , et Ton se bornera à considérer la vitesse normale u , que l'on regardera comme positive quand elle sera dans le même sens que i^, et comme négative dans le cas contraire. Or, on ne changera rien aux pressions en donnant un mouvement commun à tous les points du système, et, par conséquent, on pourra réduire la plan au repos , ce qui ramènera au cas précédent. Il suffira pour cela d'ajouter — a à la vitesse de chaque point , et l'on se trouve dans le même cas que si , le plan étant en repos , la vitesse du liquide à l'orifice était (f' — «); on aura donc, pour l'expression de la résistance opposée au plan , p^(^ — w)*«

2q8 cours de MECANIQUE.

496. Supposons enfin que le plan fasse avec la direction de la veine un angle quelconque â, et se meuve parallèlement à lui-même. Décomposons sa vitesse en deur autres : l'une dans le sens même de ce plan , et que Ton peut négliger^ l'autre parallèle à la direction de la veine. Désignons cette dernière par u et donnons au système entier une vitesse égale et contraire. Le plan deviendra immobile, et la vitesse du liquide sera réduite à [^ — u).

Cela posé , si nous prenons Taxe des x perpendiculaire au plan fixe, nous aurons toujours Téquation

« ,s ^^ - [ dx\

dt \dtj,

et l'état du liquide étant devenu invariable, le second membre se réduira encore à la masse écoulée pendant Funité de temps, ou p(ù(^ — m), multipliée par la composante de la vitesse (p* — u) perpendiculairement au plan, ou (♦^ — u) sin 6, La pression exercée sur le plan mobile est donc p(ù [i^ — uy sin Q, On peut donner une autre forme à cette expression en désignant par a la vitesse du plan estimée suivant la normale. On a alors u = -r— r> et la pres-

smQ ^

j . , (('sinô — aV ., , sion devient alors ptù ^—- — ^ -, si le plan est en repos, ^

on a a = o, et la pression se réduit à ptl)^'* sin 6.

Ces formules sont démontrées, par d'autres considérations, dans le Mémoire de M. Coriolis {*)sur le principe des forces vives dans les moui^ements relatifs des ma*^ chines.

{*) Journal de l'École Polytechnique, xxi® cahier.