ÉLASTIQUES

197. Lorsque tous les points d'un fluide n'ont que des mouvements extrêmement petits, les équations générales se simplifient beaucoup, et conduisent à quelques lois simples que nous allons exposer.

Nous supposerons que l'expression udx-{- udy^ivdz soit à chaque instant la différentielle d'une fonction (f de X, y^ z, t^ prise seulement par rapport aux variables x^ y^ z. Nous savons qu'il sufBt pour cela que, dans l'état initial, les composantes connues u, p», w de la vitesse d'un point quelconque soient les dérivées partielles , par rapport à a:, y^ z, d'une même fonction de ces trois variables considérées comme indépendantes*, ce qui aura lieu en particulier si les vitesses initiales sont nulles. Nous devrons donc, dans les questions que nous allons étudier, faire usage de l'équation (6) du n^ 182^ et nous allons d'abord y opérer les simplifications qui résultent de Phypothèse que les mouvements restent très-petits.

Soient D la densité du gaz dans son état naturel d'équilibre , A celle du mercure , p^ la force élastique de ce gaz , h la hauteur de mercure qui la mesure , et g la gravité ; on aura

Désignons par p la densité variable du gaz , par y sa condensation positive ou négative , et par p sa force élastique , on aura

et, en supposant la température égale à celle de l'état initial ,

Mais la condensation développe une certaine quantité de

300 COU&S DE MiCANIQUE.

chaleur qui lui est proportionnelle, si elle est très-petite, comme nous le supposons. Cette chaleur n'a pas le temps de se répandre si les alternatives de dilatation et de condensation se succèdent rapidement , comme cela aura lieu dans les questions que nous examinerons ^ on doit donc la considérer comme ayant pour effet d'élever la température des points où elle est dégagée d'une quantité de même signe que la condensation , et proportionnelle à sa grandeur. Dans le cas où la chaleur aurait le temps de se dissiper dans le milieu, on n'en tiendrait pas compte dans le calcul. Si Ton représente par le nombre positif ou négatif de degrés centésimaux dont s'élève la température primitive i^ du gaz, pour une condensation y; par c et c^ les chaleurs spécifiques du gaz à pression constante et à volume constant, et par a le coefficient de dilatation de ce gaz, on démontre en physique que ces quantités ont entre elles la relation suivante :

a9=7(i-îj-,

on aura , de plus , la proportion

/> : /?o : : D (i -f- 7). [i 4- a (p 4- 0)] : D (H- ap),

d'où Ton tire, en remplaçant po par gh et négligeant les puissances de a supérieures à la première, et le produit des quantités très-petites y, ô,

ou, en remplaçant a 6 par sa valeur en fonction de y,

d'où

= ^a(iH-7,4)a,

dp ghc à df

p De' H-y

DEUXIÈME PABTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 3oi

L'équation (6) donne ainsi

^'•(.H.„ = -lJ-i[(g)V(^)V(S)']-

Or, en supposant que les condensations et vitesses initiales soient des quantités extrêmement petites du même ordre, et qu'il en soit de même à une époque quelconque ,

on pourra négliger les carrés des composantes ;t^» ^r^» "7^

par rapport à / (i-f- 7), qui peut être remplacé par y, et la dernière équation se réduit à

ghc A dff

shc^ • ou, en posant , = a',

L'équation de continuité

• dp d.pu d.pv d.pw

de dx djr dz

devient d'abord

dt dx djr dz ^

OU , en négligeant les termes très-petits par rapport à ceux qui subsistent dans Téquation,

, ^ df d^ o d^fp d^ o

Les équations (i) et (2) déterminent y et f . Si Ton élimine entre elles y, on obtient

(^^ 'dF'^^X'dx^'^'dp^'^^)'

On est donc ramené à Tintégration d'une équation dilSTérentielle partielle du second ordre, linéaire et à coefficients constants. Les fonctions arbitraires se détermineront par

les valeurs initiales de ç et -—> et il n'y aura pas d'autres

conditions si le fluide est indéfini dans tous les sens. Dans le cas contraire, il y a, comme nous le savons, des équations particulières aux limites, qui augmentent beaucoup les difficultés du calcul.

La valeur initiale de -j- est connue par celle de y qui

est une donnée nécessaire. Quant à celle de y, elle résulte des valeurs initiales des composantes de la vitesse,

-~> -T^j -~9 qui sont nécessairement données. Ces trois dx dy dz *■

fonctions Aiàx^ y^ z déterminent, à une constante près, la fonction (p \ et comme cette constante ne peut avoir aucune influence sur les quantités cherchées, qui s^obtiennent toutes par la différentiation de la fonction (p, on n'en doit tenir aucun compte, et Ton peut considérer la fonction générale y comme connue lorsqu'on y fait it = o.

Le problème de mécanique est donc ramené à une question de calcul intégral dont les données sont complètes. Nous nous bornerons à la traiter dans quelques cas particuliers.

198. Superposition des effets, — Si dans ce fluide, supposé indéfini dans tous les sens, on conçoit divers états initiaux et les mouvements partiels qui leur correspondraient, et satisferaient à Téquatiou (3), il est facile de reconnaître que, si l'on considère un nouvel état initial résultant de la composition des premiers, le mouvement correspondant pourra être obtenu à une époque quelconque par la composition des mouvements partiels relatifs à la même époque*, cette composition étant entendue dans