DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 3o

le sens ordinaire pour les vitesses , et consistant dans une addition algébrique pour les condensations. En effet, soient ?! î 9a î 93 ? etc., les valeurs de (f correspondantes aux mouvements partiels, et qui satisfont séparément à l'équation (3) ; posons

La fonction 9 satisfera elle-même à Féquation (3), et représentera , par conséquent , un mouvement particulier du fluide. Sa dérivée par rapport à t sera la somme de celles des fonctions 91 , fi , etc. En les considérant toutes pour la valeur t = o , on en conclura d'abord que la condensation initiale du fluide dans le mouvement représenté par f est la somme des condensations initiales relatives aux divers mouvements partiels; et, de plus, les dérivées de 9 par rapport k x^ jr^z seront les sommes de celles des fonctions ?! ) 9« 5 9s 5 etc. ; et si l'on y fait f = o , on en conclut que dans le mouvement représenté par 9, les vitesses initiales de chaque molécule s'obtiennent en composant celles qui se rapportent à la même molécule dans les états initiaux partiels. Donc Tétat initial du fluide dans le mouvement représenté par (f est identique pour les condensations et pour les vitesses à celui que nous nous proposions de déterminer; ces deux mouvements sont donc identiques à une époque quelconque. Si maintenant, au lieu de faire t z=o dans les

ionctions -r- 9 -H- 9 -7-^9 —r» on attribue a cette variable dt dx dy dz

une valeur quelconque, ces fonctions seront toujours les

sommes de celles qui correspondent à 91 , 9s , 93 , etc. Donc

enGn les condensations et les composantes de la vitesse dans

le mouvement cherché seront à chaque instant les sommes

algébriques de celles que l'on observerait à la même époque,

et respectivement aux mêmes points, dans les mouvements

déterminés par les états initiaux partiels.

3o4 COURS DE MÉCANIQUE.

Mouvement d'un gaz dans un tujau cjUndrique indéfini,

199. Supposons un cylindre creux indéfini, dont la section orthogonale soit une courbe quelconque, et qui soit rempli d'un gaz homogène, par exemple d'air atmosphérique. Dans une étendue quelconque de ce tuyau, on a déplacé les molécules de telle sorte que celles qui étaient dans une même section orthogonale y soient restées , et se soient mues parallèlement aux ai*ètes du cylindre \ puis on a imprimé à toutes ces molécules des vitesses parallèles à ces arêtes et égales pour celles qui sont dans une même section : et ensuite on a abandonné le fluide à lui-même, sans introduire aucune force extérieure. Il s'agit de déterminer toutes les circonstances du mouvement qui en résultera.

Nous remarquerons d'abord que le mouvement de toutes les molécules situées dans tme même section sera le même, et, de plus, parallèle aux arêtes du cylindre. Si donc on prend cette direction pour celle de l'axe des x , la condensation y et la vitesse m ou —^ ne dépendront que de x et t.

Les équations du problème seront donc

et si Ton suppose que les vitesses initiales soient exprimées par la fonction (p (x) , et les condensations initiales par •^ (x), on devra avoir

(^^ 'Â^^^'^'^' ^ = — «*XW> pour t=zo.

L'intégrale de l'équation (i) est

(3) ?^ = F,(a?^-rtO-^/(^ — ^0>

DIlUXIÈMR partie. HYDRODYNAMIQUE. 3o5

Fi etj\ désignant des fonctions arbitraires, dont nous représenterons les fonctions dérivées par F et f. Les équations (2) donneront, pour déterminer ces fonctions, les deux conditions suivantes : \.

f{x)-Y{x) = ax{œ), d'où Ton tire

Si maintenant on différentie l'équation (3) par rapport à x et à f 9 on trouvera, d'après les valeurs qui viennent d'être déterminées pour les fonctions/* et F^

-^{x -\- at) — g;^ (x -♦- at) -^{x — at)-^ ay^lx — at]

il — ^- ■ — - ,

Y{j^ — at) -\- a x{xj---^at) ^(x-i-at) — a^i^ -h at)

Mais, pour plus de simplicité, nous conserverons les fonctions F etf^ et nous aurons les formules suivantes :

(4) u z=z F (x -h at) -¥■ /(x -^ at) ,

(5) «7 ='— F(,^-f-«0-^/(^~«0• Les fonctions ^ et X étant données pour toutes les valeurs de la variable entre > — oo et -f- 00 , on connaîtra « et y pour des valeurs quelconques de a: et f.

Si Ton veut connaître le mouvement des molécules comprises dans une section particulière, qui dans l'état initial correspondait à l'abscisse a, il faudra, dans l'équation (4)^

remplacer M par —5 et intégrer celle que l'on obtient par

là entre x et t. On connaîtra ainsi, en fonction du temps ^

l'abscisse des molécules en question. La constante que cette