I- cet a
Cette courbe est donc une spirale hyperbolique dont le point A est le pôle.
Si Tangle a est aigu , cot ol est positif, et lorsque 6 augmente indéfiniment , le mobile s'approche indéfiniment du pôle A.
Si a est droit , on a
cot a=ro, et r-=z a\
la courbe se réduit alors à un cercle. Et l'on peut remarquer une fois pour toutes que , dans toutes les lois d'at« traction , si le mobile part avec une vitesse perpendiculaire aii rayon vecteur, et telle que le carré de cette vitesse divisé par le rayon vecteur soit égal à la valeur de la force accélératrice qui agit sur lui à cet instant, il décrira nécessairement d'un mouvement uniforme le cercle qui aurait pour centre le pôle. Car ce cercle serait la trajectoire, en supposant une force constante égale à cette valeur initiale f mais il peut aussi être considéré comme décrit en vertu de la force proposée qui, ne dépendant que de la distance, agira toujours avec la même intensité à tous les points du cercle \ donc , puisque cette courbe peut être considérée comme décrite en vertu de la force proposée , et que celleci ne peut produire qu'un seul mouvement d'après les données initiales , c'est cette courbe même qu'elle fera décrire.
Enfin , si a est obtus , le point ne tend plus vers le pôle , et le rayon devient infini pour ^ =5 — tang a, ce qui donne la direction de l'asymptote.
Cherchons maintenant à exprimer les coordonnées du mobile en fonction du tempsJ
L'équation r* Jô = cdt donne, en remplaçant r par sa
OBUXIÈMB rAETIB. DTSAMIOOK. I()
Talenr,
d'où
c(i -I- Gcota)'
ccota I + Ocota '
en déterminant la constante c' par la condition qu'on ait en même temps f = o, 6 = 0, et remplaçant c par sa valeur To f^o sii^ « 9 on aura
p»cosa\ i-f-ôcota/ p.cosa^ '
d'où l'on déduit
r:= tt-^ p^t COS a ,
et
cet al v^i
cosa
La valeur de r diminue à mesure que t augmente y ei de-
vient nulle pour t = — ; le mobile parviendrait donc
^ p, cos a '^
au pôle après cet intervalle de temps, à partir du point de départ. Quant à la valeur correspondante de 0, elle augmente sans limite , et le mobile a fait dans ce même temps une infinité de révolutions autour du pôle.
Si maintenant on cherche les positions qui ont précédé le moment qu'on a pris pour origine du temps, il faut faire t négatif depuis zéro jusqu'à rinfîni; rira en croissant depuis To jusqu'à l'infini , et depuis o jusqu'à -^ qui
donne la direction de F asymptote.
a**. Soit maintenant , ■ 4".", - — i = — n', n étant
r; p; sin* a '
une quantité réelle.
20 COURS DE HÉGANIQUE.
L'équation difTérentielle de la trajectoire aura pour intégrale
- = A sin /i Ô -f- B CCS n B.
En déterminant les constantes A et B d'après les données initiales, on obtient
/V ^ cota . ^ Hn(/id + €) - = cos /i 9 H sin /? = — >^. ' »
n sins
cota en posant = cot e.
Si Ton veut connaître le point où le mobile sera le plus près du pôle, il faut rendre - le plus grand possible , ce qui se fera en posant sin (n 6 -+- e) = i , ou
d'où
on en déduit
r=:r«smf et /îô-f-f=:-,
cola tang /i = cot c =r 9
rf.i
comme on l'aurait trouvé en posant -jr- = o.
A partir de cette valeur particulière , si l'on augmente ou qu'on diminue d de quantités égales , sin (nd + e) recevra les mêmes valeurs, et, par conséquent, la courbe est symétrique par rapfnort à la direction du rayon vecteur minimum.
La valeur de r deviendra infinie lorsqu'on aura
sin (/i9-h c) =:Oy ou /i0 4-i = m7r^
DIUZIXMS PARTIE. — - DTHAIIIQUE. 21
m désigiMUt un nombre entier quelconque; on aura alors
taDg /i = — tang t = — n tang a.
La plus petite valeur de 9 qui satisfera à cette équation donnera la direction vers laquelle tendra le rayon vecteur en croissant indéfiniment ; mais on ne l'obtiendra qu'après un temps infini , comme on le reconnaîtrait facilement en exprimant t en fonction de 9, d'après l'équation
3®. Supposons, en dernier lieu, , ,^. , 1 = n*.
■^^ ' r; vl sm* a
En in tarant l'équation différentielle de la trajectoire,
on trouvera d'abord
et en déterminant les constantes  et B d'après l'état initial, on obtiendra
iii= (.4-^) «"«+(. -^)
On voit par là que, croissant indéfiniment, r tendra vers zéro.
Si , pour plus de simplicité, on suppose a = -9 on aura
Cette spirale sera symétrique par rapport a Taxe polaire^ ses deux branches auront le pôle pour asymptote, et il est facile de voir que le mobile y parviendra après un temps fini. En effet, de l'équation
r^d^mcdt
22 COUES DE MÉCANIQUE.
on tire
cdt = ^— ^ — — ^^—^
d*OÙ
-nôy
nci
^^rl
^2ne,
Déterminons la constante Ci par la condition qu*on ait à la fois ^ = o, 9 = ô, on trouvera
Cl = y , et, par suite,
net
r* Or, 6 croît indéûniment à mesure que t s'approche de — ;
ainsi le mobile parvient au pèle au bout de ce temps.
Si l'on cherche le mouvement qui a précédé 1 époque prise pour origine du temps, il faut supposer t négatif^ Téquation précédente donnera alors 6 négatif, et Ton trou-
vera 6 = — oo lorsque l'on aura t= -j comme on pou-
ne
vait le prévoir.
Il est un cas particulier qui mérite d'être remarqué : c'est celui où il n'entre qu'une seule exponentielle dans l'équation de la trajectoire, qui devient alors une spirale logarithmique. Ce cas a lieu quand on a
cet a = ± «.
Supposons , par exemple, cot a = — n. On a pour l'équation de la trajectoire
C'est ce qu'on aurait pu reconnaître immédiatement au
moyea de l'àjuation (3) qui, dans le cas actoel, a la forme
Or, lorsque les consumes données satisferont à la condition ''i = 4 ) il est éf ident qne ràjaation donnera une valeur constante pour le rapport - qui est la tangente de
(së)
l'inclinaison du rayon vecieor sur la courbe; or, c'est U la propriété caractéristique de la spirale logarithmique. Dans ce cas, la valeur de n', qui est
ce qui ramène à la condition déjà trouvée.
