DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. SlQ

les éléments de rébranlement primitif; et, par conséquent, à ce même moment, Tétat du gaz dans le tuyau entier sera identique avec Fétat initia]. Les états subséquents seront donc les mêmes que ceux qui ont déjà eu lieu, et ce mouvement se reproduira périodiquement. Si Ton désigne par / la longueur du tuyau , la durée de la période

sera — Un raisonnement analogue montrerait que, dans

le tuyau ouvert aux deux extrémités , l'état du gaz redevient encore le même lorsque l'onde élémentaire a parcouru l'espace 2/.

Mais si le tuyau est fermé d'un côté et ouvert de l'autre, les choses ne se passent plus tout à fait de la même manière 5 comme il faut, pour que Tétat du gaz soit redevenu le même , que l'onde élémentaire ait subi deux fois la même espèce de réflexion, et que les deux extrémités en produisent d'espèces différentes, il sera nécessaire que cette onde ait parcouru quatre fois la longueur du tuyau, et, par

conséquent, la durée de la période sera — •

On désigne sous le nom de "vibration un petit mouvement qui se reproduit périodiquement 5 et l'on reconnaît , en physique , que le son qui en résulte est d'autant plus aigu que le nombre de vibrations faites dans un même temps est plus grand. Il suit de la discussion précédente que le son rendu par un tuyau ouvert à une extrémité, et fermé à l'autre, est à l'octave au-dessous de celui que rendrait un tuyau de même longueur, ouvert ou fermé à ses deux extrémités.

Il est bon de remarquer que la durée que nous avons reconnue pour la période est une limite supérieure. Nous avons prouvé qu'après cet intervalle on retombe identiquement sur le même état du gaz, et généralement on n'y retombera pas auparavant. Mais il est possible que l'état initial soit tel qu'il se reproduise identiquement avant que

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cet intervalle ne soit achevé 5 cette période, plus petite, ne pourra évidemment être qu un sous-multiple de la première. Nous ne faisons qu'indiquer ce résultat que nous retrouverons tout à l'heure dans la discussion directe et complète des trois cas que nous venons d'examiner rapidement.

1®. Cas itun tuyau fermé •à ses deux extrémités. — En désignant par l la longueur du tuyau AB {fig. 17) et conservant toujours les mêmes notations , nous aurons à satisfaire aux équations suivantes :

■ ^ dt' dx'

dfû (2) -i.z=o pour X =z o et pour j:=/,

dx

^=+(^)> '^=— «'X(^) PO"r t=:0

I/intégrale générale de l'équation (i) est

<p = F, ( j: 4- at) -1-/, (x — at).

La condition (a), relative à a: = o, conduit à l'équation suivante, dans laquelle z désigne une quantité arbitraire :

La même condition (2) , considérée pour x = l^ donnera

Les fonctions F et/*, qui se déduisent, comme nous l'avons déjà fait voir, des fonctions données (p, ;(, ne sont déterminées , comme ces dernières , que pour les valeurs de la variable qui sont comprises entre o et /. Les équations (4) et (5) vont les déterminer complètement, et l'on saura alors quel devrait être l'état initial du gaz dans un tuyau

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indéfini dans les deux sens, pour présenter enlre o et / tous les mêmes effets qui vont se produire dans le tuyau en question.

L'équation (4) exprime , cotome nous avons déjà eu occasion de le remarquer, que si Ton considère les courbes ayant pour équations

depuis x = — 00 jusqu^à a: = -f- oo , le lieu formé de la partie de l'une située d'un côté de A, et de la partie de l'autre située de l'autre côté , a lé point A pour centre.

L'équation (5) exprime qu'il en est de même relativement au point B. Ce lieu ayant deux centres A , B , en a une infinité d'autres, distants les uns des autres de cette même quantité l, et situés à droite et à gauche de l'origine A, comme l'indique la figure. Il en résulte que chacune des fonctions F et f est périodique par rapport à la variable, et conserve la même valeur quand cette variable augmente ou diminue de 2 /.

Cette propriété importante peut d'ailleurs facilement être déduite des équations (4) et (5). En effet, si dans la dernière on change z en z -f- /, elle devient

résultat qui , combiné avec l'équation (4) , donne, quel que soiti?,

d'où il résulte que la fonction F est périodique , et que la période se rapporte à l'étendue 2 / de la variable^ On prouverait semblâblement la périodicité de la fonction f. On changerait z en z — / dans l'équation (5), ce qui don-