DEUXIÈME PARTIE. HYDRODYNAMIQUE

changeant z en z -i- 1 dans Téquation (2) , on obtient

et, d'après l'équation (i) ,

donc encore la fonction F est périodique , et sa période répond à rétendue 2 / de la variable.

On arrive à la même conséquence pour la fonction y, en changeant z en z — / dans l'équation ( 2) ; ce qui donne

et , d'après Téquation ( 1 ) ,

L'état du tuyau est donc encore périodique, et est le même à deux époques quelconques séparées Tune de l'autre par

un intervalle égal à —

3^. Cas (Tun tuyau fermé dun côté et ouy^ert de Vautre,

— Supposons qu*à l'extrémité prise pour origine , le tuyau

soit fermé, et qu'il soit ouvert à l'autre, on devra avoir,

quelque soit f ,

(,) ^=0 pour ^ = 0,

(2) ■—- = o pour x=:i.

Ces deux coiidiùous coaduisent aux suivantes :

(4) ¥{l+z)=/il'-z).

En changeant z en z -(-/dans l'équation (4) , on obtient

¥(2l-hz)=/{-z),

^4 C06RS DE MÉCANfQBK,

et, d'après réquatioii (3) ,

La fonction F ne reprend donc pas la même valeur quand la variable augmente de 2/. Mais ces deux valeurs ne diflerent que par le signe. Donc , si Ton augmente de nouveau la variable de 2/, la fonction reprend identiquement sa première valeur. Elle est donc encore périodique, mais la période répond à Tintervalle ^l délai variable.

Oh reconnaîtrait la même propriété pour la fonction y, en changeant z en z — / dans Téquation (4)* Q suit de là c|ue , dans le cas actuel, Fétat du tuyau est encore périodique, mais que généralement il ne redevient le même qu'après un intervalle égal à —9 comme nous l'avions déjà démontré d^une autre manière»

Solution des questions précédentes au moyen de séries

trigonométriques.

206. Nous allons maintenant traiter la question du mouvement de l'air, ou d'un gaz quelconque, dans un tuyau fini, au moyen d'une méthode très-féconde, et beaucoup plus commode dans la plupart des cas. EU» consiste à déterminer d'abord, non pas l'intégrale générale de l'équation aux différentielles partielles , mais un nombre infini d'intégrales particulières, que l'on assujettit à satisfaire chacune aux conditions relatives aux limites du système. Si Ton a eu soin de préparer les équations de manière à ce qu'elles ne renferment pas de termes indépendants de la fonction ou de ses dérivées , une somme d'intégrales parUculières , multipliées respectivement par des constantes arbitraires , est encore une intégrale de l'équation indéfinie, et elle satisfait encore aux équations aux limites si chacune des pre-