DEUXIEME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

mières y satisfait. 11 ne s'agit donc plus que de déterminer les constantes en nombre infini , que renferme cette intégrale 5 de manière qu'en faisant t= o on obtienne l'état initial proposé. Nous allons reprendre, en suivant cette marche, la résolution des derniers problèmes.

1^. Moui^ement d* un gaz dans un cylindre fermé des deux côtés. — En employant les mêmes notations que précédemment , il faudra satisfaire aux conditions

(2) -r^ = o pour x = o et pour jc = /,

* ' dx

(4) J = -«'x(^) po»»^ '=0-

On reconnaît immédiatement qu'on satisfait à l'équation (1) en prenant

ç = (M cos/wj: h- N sin mx) (A sina/w^-j- B cosam/),

M, N, A, B, m étant des constantes arbitraires. Pour satisfaire à la condition (2) , quel que soit t, il faut que la dérivée du facteur

M cos/îîa: -h N siniwa?, ou — m ( M sin ma: — N cos mx)^

soit nulle pour jc = o et pour x = /, ce qui donne les deux équations

N=o, sin/w/ = o, d ou /w = — >

n désignant un nombre entier quelconque , positif ou négatif. Mais on peut se borner aux valeurs positives , parce que les valeurs de y correspondantes aux valeurs négatives de n

3^6 COUftS DE MÉfCàJlIQUE.

ne diAéreraîent pas des premières, tq F indétermination des coefficients.

Désignons par £ one somme rdative à toutes les valeurs entières et positives de /i; supposons cpie  et B changent arbitrairement avec n , et supprimons le facteur M qui est inutile ; nous aurons une intégrale plus générale de Féquation (i), satisfaisant aux conditions relatives aux extrémités du tuvau. Cette intégrale est

inrx , anict ^ anict \ ^ = I ros — -— 1 A sm — ; h B ces -- — •

Si nous diâérentions celte expression par rapport kx et t pour en déduire u et y qui donnent la solution de la question ^ et que nous remplacions par A et B les constantes

/Sic It 1C

ari>itraires A—-» B — « nous aurons

. nwx I ^ anict ^ anict \ (5. « = — 2 sm — — I A sin — h B cos — — |»

.^x ^ **•*■ I . anxt ^ . anict \ ib) at = — Icos — : — | A cos B sin — ; — )•

^ ' i \ i II

Si nous faisons f =o dans ces expressions, les équations (3 ) et (4) donneront , pour déterminer A et B, les conditions suivantes :

iB) iAcos^ = — 4ix(-^)-

Pour déterminer les coefficients B, nous développerons la fonction 4^ (<^) *» ^^^^ ^' donnée dej: = o k x = l seulement, en série procédant suivant les sinus des multiples (le X. CVst siipjioser que Ion ait