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On reconnaît immédiatement que si pour une même valeur de t on considère des valeurs de x, différant les unes des autres de la quantité 2/, les valeurs de u et y qui leur correspondent seront les mêmes. Ces fonctions sont donc pério* diques relativement à x, et la période répond à l'étendue 2/ sur Vane des x. Si ^ de même , on laisse x constant , et que

l'on fasse varier f de — » m et y conservent encore les mêmes

valeurs; le mouvement de chaque point est donc périodique, et la durée de la période est — •

Ces formules (9) et (10) sont celles que Ton obtiendrait pour un tuyau indéfini, en partant de Tétat initial que Ton trouverait en faisant ^ = o. Cet état initial indéfini, et qui serait évidemment périodique, tiendrait lieu des conditions des extrémi^s.

207. Si Ton considère en particulier l'état initial pour lequel la série se réduirait à un seul terme, correspondant à une valeur quelconque n , oh aura ce que l'on appelle un mouvement simple du système. Un état variable simple, dans toute t|;^éorie, est celui où le changement, quel qu'il soit , se fait en tous les points , proportionnellement à une même fonction du temps. Les rapports sont alors les mêmei| à tout instant.