DEUXIEME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE
Dans les questions que nous traitons, ces états ne peuvent être que de la forme que nous avons choisie, vu que les exponentielles qui constitueraient la seconde forme possible, ne satisferaient pas aux conditions des extrémités. Ce mouvement sera représenté. par des équations de la forme suivante :
nicx i
sin
anirt
cos
amzt
nivx
nr%t
anirt
cîn
awKi
ni* 2 /
La durée de la vibration est, dans ce cas, — au lieu de —
' na a
J^es valeurs de u sont nulles pour toutes les valeurs de x qui
jsatisfont à Féquation
. mzx sm — —- = o ,
/et sont renfermées dans la formule
kl
k étant un nombre entier.
Les points où le gaz est, immobile dans le tuyau, ou les nœuds, sont donc tous ses points de division en n parties .égales.
Les points où la condensation est nidle , et qu'on appelle ventres, seront donnés par l'équation
nirx (2/- H- 1)/
cos— --mo, doù x = ' i-:
l in
ils sont donc situés aux milieux des intervalles successifs des nœuds.
208. 2**. Cas où le tuyau est ouvert à ses deux exlré^ fnités. — Les équations relatives aux extrémités sont, dans
ce cas ,
do ,
—i = o pour X = o et pour x-=,l.
Les autres équations sont les mêmes que dans le cas précédent, et Ton aura une valeur de y satisfaisant à tout, excepté à l'état initial , en prenant
nizx ( ^ . anitt ^ amzt\ y = 2sin— -- lAsm — hBcos — - — U
la somme S se rapportant à toutes les valeurs entières et positives de n -, et A, B étant des constantes arbitraires, variant avec /ï.
On déduit de cette valeur de ç les expressions suivantes de u et y, qui sont les seules dont on ait besoin et dans lesquelles les indéterminées  et B diffèrent par le facteur — de celles qui entrent dans (p :
mzx l ^ . anitt „ aniTt\ « = 2 cos — - I Asm — h B cos — - — | j
. nnx / ^ annt ^ . annt\ ay = — 2 sm — — I A cos — B sm — — - I •
Pour que ces valeurs satisfassent à Fétat initial , il faudra que Ton ait, entre les limites jr = o et a: = /, les deux identités suivantes :
^ nit X . , ,
2 B cos — - — =r >K^ I ,
, nit X , .
lAsin -y- = ~ax(*).
ce qui montre d'abord que les fonctions ^ et j^ doivent être périodiques par rapport à x, et que Tétpndue de la période <»st a/; que, de plus, la fonction ^ conserve la même valeur quand ou change »r eu — x, tandis que la fonction ^ prend uuo valeur 04;alrol de signe conr rai re, par ce même chan-
