APPUCATION DE CE QUI PRÉCÈDE AU SYSTÈME DU MONDE

i3. L'observation attentive des mouvements des corps célestes, continuée pendant un grand nombre de siècles, en a fait connaître plusieurs lois générales qui ont pu servir de base à l'application des théories mathématiques. Pour que les formules que nous avons établies puissent s'appliquer au mouvement des planètes et de tous les autres car~ célestes, il suffît d'admettre que la matière qui les comp< est soumise aux lois que nous avons reconnues , sans excc

^4 COURS DE MÉCANIQCB.

tion 9 dans les corps qui nous entourent^ et qui ont pu être soumis à nos expériences. Or, s'il était possible de douter à priori que les corps célestes soient formés d'une matière qui jouisse de ces propriétés, l'accord entre les conséquences les plus minutieuses de cette hypothèse, et l'observation des faits en donnerait la preuve à posteriori «

Les mouvements des corps célestes , considérés relativement à la terre , sont très-compliqués ; mais , rapportés au soleil, ils deviennent d'une extrême simplicité. Ils sont soumis à trois grandes lois, connues sous le nom de lois de Kepler y et dont nous allons donner les énoncés , en considérant les planètes comme réduites à de simples points matériels :

i^. Les planètes, dans leur mouvement par rapport au soleil , décrivent des courbes planes ; et leurs rayons vecteurs, partant du centre du soleil, décrivent des aires proportionnelles *au temps \

!i^. Les trajectoires relatives, ou les orbites des planètes, sont des ellipses dont le centre du soleil occupe un des foyers 5

3^. Les carrés des temps des révolutions des planètes autour du soleil sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.

Voyons quelles conséquences rigoureuses on peut tirer de ces lois.

Comme nous ne savons pas si le centre du soleil est immobile, il faut raisonner comme s'il était en mouvement. Or, l'expérience ayant démontré que les aires décrites par le rayon vecteur d'une planète autour du centre du soleil sont proportionnelles au temps, on en conclut, d'après la théorie du mouvement relatif, que la force relative qui sollicite cette planète est dirigée vers le centre du soleil , quelles que soient d'ailleurs la nature et la loi de cette force. Ce qui signifie, comme nous le savons,, que si^ à un instant

DEDXliKE FAmTU. — DTIfjUHQDB. U

quelconque ,' on appliquait à la planète une force accélératrice ^ale , parallèle et de sens contraire à celle qui donnerait au soleil le mouvement qu'il a dans l'espace , la résultante de cette force et de celle qui est réellement appliquée à la planète est constamment dirigée vers le centre du soleil. Maintenant, la seconde loi de Kepler, faisant connaître la trajectoire relative de la planète, va déterminer la fonction qui représente l'intensité de ta force relative qui la fait décrire. Soient sa le grand axe de cette ellipse, e son excentricité, r le rayon vecteur mené du centre du soleil à une position quelconque de la planète, et tu l'angle que forme son grand axe avec la ligne fixe passant par le centre du soleil, à partir de laquelle nous comptons les angles $ qui déterminent le rayon vecteur. L'équation de cette courbe sera

a (i — e') 1 1 -Hgcos(Q— »») ■

*~i-|-ecos(e — m)' r a(i — e')

Or, nous avons trouvé, pour l'expression générale de la force accélératrice y, la formule suivante :

L'équation de la trajectoire que nous considérons donne

r dJB' a{i—e') et, par suite,

Cette valeur étant positive, il s'ensuit que lé mouvement relatif d'une planète quelconque autour du soleil est produit par une force dirigée vers le centre de cet astre, et sa grandeur varie en raison inverse du carré de la distance à ce point.

Un calcul analogue conduirait à cette même loi si la trajectoire, au lieu d'être une ellipse, était une parabole ou une hyperbole.

14. Il reste encore à comparer les forces accélératrices qui agissent sur des planètes différentes placées à la même distance du soleil.

Or, à l'unité de<iistance, on a

c désignant le double de l'aire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps. Si donc T est le temps de la révolution entière , on aura

|i?T = ir«^ ^i — e% et, par conséquent,

"? = — jT-*

à Tunité de distance du centre du soleil. Mais, d'après la

troisième loi de Kepler, le rapport =-j est le même pour

toutes les planètes; donc la force qui sollicite l'unité de masse de chacune d'elles vers le centre du soleil est la même à la même distance de ce point.

Ainsi les mouvements relatifs des planètes sont dus à une force dirigée vers le centre du soleil, proportionnelle à la masse sur laquelle elle agit , et en raison inverse du carré de la distance à ce centre.

DEUSlilK PAITU. -~ mHAMIQUE. 3^

15. Mais ii ne faut pas se méprendre sur le sens rigoureux de ces conséquences.

Les lois de Kepler prouvent que, dans le mouvement relatif tel qu'il a lieu pour une planète quelconque, la force qui agit sur ce corps rait la loi que nous venons de déterminer j maid s'ensuit-il que cette loi serait la même pour un autre mouvement de la même planète? Par exemple, ce corps, placé sans vitesse à différentes distances du centre du soleil , serail-il attiré vers ce point en raison inverse du carré de la distance ? Cela ne résulte nullement de la valeur trouvée pour 9, car elle aurait pu être exprimée en fonction de d, et même de f ; et l'on en aurait conclu , avec autant de raison , d'autres lois pour la force accélératrice. Ces lois auraient élé prouvées pour le mouvement en question, mais non pour aucun amre; et ît est évident que deux d'entre elles au moins ne sauraient être générales, puisque cltacune d'elles exclut les autres.

Néanmoins, l'ensemble des résultais relatifs aux diflereutes planètes peut conduire à la connaissance de la loi générale que suit la force qui produit leurs mouvements. On reconnaît d'abord qu'elle ne peut dépendre du temps; car, pour chaque planète, la force serait exprimée par une fonction périodique, dont la période aurait la même durée que la révolution de cette planète; ce qui ne saurait être , puisque ces durées varient d'une planète à l'autre. On ne peut admettre non plus que la force dépende de la direc- UoD, car les calculs relatifs à chaque planète ne s'accorderaient pas à donner une même forme à cette fonction. Au contraire, tous ces mouvements condnisent à une même expression de la force accélératrice en fonction de la distance ; on ne peut donc douter que ce ne soit H la vraie loi suivant laquelle la matière qui compose les planètes est attirée vers le centre du soleil , autant toutefois que I de Kepler seront regardées comme exactes et immual

a8 COUAS DE HÉCANIQUE.

Cette action , dirigée constamment vers le centre du soleil, semble ne pouvoir être attribuée qu'à la matière même qui compose ce corps ^ et , si Ton étend aux corps célestes , agissant à distance les uns sur les autres , le principe de Tégalité de l'action et de la réaction , on doit admettre que le soleil est attiré vers chacune des planètes proportionnellement à leurs masses respectives. Mais le soleil attirant la matière de toute espèce qui compose toutes ces planètes placées si diversement par rapport à cet astre, il est impossible de se refuser à admettre qu'il attire aussi , de la même manière, les satellites de ces planètes*, et, comme les rayons menés du centre du soleil aux différents points d'une planète et de ses satellites sont sensiblement égaux et parallèles, on peut regarder ce système comme sollicité par des forces parallèles et proportionnelles aux masses : d'où il résulte que l'action du soleil ne change pas sensible* ment les mouvements relatifs d'une planète et de ses satellites.

Or les lois de Kepler s'étendent à ces derniers mouvements; il s'ensuit donc, par les mêmes raisons déjà don* nées pour les planètes relativement au soleil , que les satellites d'une même planète sont sollicités vers le centre de cette planète par des forces proportionnelles à leurs masses, et en raison inverse du carré de la distance à ce centre. Et d'après ce principe de l'égalité de l'action et de la réaction, les satellites attirent leur planète commune, proportion* nellement à leurs masses respectives et à la même fonction des distances.

Une planète attirant le soleil proportionnellement à la masse qu'elle possède, il est naturel d'admettre que toutes les parties qui la composent concourent à produire cette action dans la proportion de leurs propres masses, et qu^ainsi une molécule quelconque de cette planète attire le soleil dans le rapport dé la masse de cette molécule à celle

DEUXliMB PAaTIE. — dyuamiqub. 2q

de la planète. U est aussi naturel d'admettre qu'il en est de même pour Fattraction qu'exerce la planète sur ses satellites , et qu'une molécule quelconque de cette planète attire un satellite dans le rapport de la masse de cette molécule à celle de la planète. Maintenant les satellites d'une même planète étant attirés par elle, proportionnellement à leurs masses , on en conclut encore que leur réaction , égale et contraire, est proportionnelle à leurs masses, et que, par conséquent, toutes les parties d'un satellite attirent proportionnellement à leurs propres masses. Enfin , par analogie , on étendra la même propriété à la matière du soleil , et l'on admettra que toutes les parties qui le composent attirent la matière proportionnellement à leurs propres masses, et en raison inverse du carré de la distance. En généralisant cette conception, on regardera comme une loi commune a toute la matière qui compose notre système planétaire, que deux molécules quelconques s'attirent Tune l'autre, proportionnellement à leurs masses, et en raison inverse du carré de leur distance.

16. Si les corps célestes étaient exactement sphériques et formés de couches concentriques homogènes, nous avons démontré que, dans la loi d'attraction que nous admettons, ils agiraient les uns sur les autres comme si toute leur masse était réunie en leur centre. Il n'en sera pas tout à fait ainsi , parce que leur figure diilère un peu de celle de la sphère, mais il n'en résultera que des perturbations dont on ne doit pas tenir compte dans une première approximation. Nous considérerons donc le soleil, les planètes et leurs satellites comme des. points matériels de masses difierentes qui s'attirent tous proportionnellement à leurs masses , et en raison inverse du carré de la distance.

L'attraction qu'éprouve une planète de la part des autres

30 COURS DE aiCANIQUE.

corps du système, produit dans son mouvement autour du soleil des perturbations , qui sont l'objet principal de la mécanique céleste ] nous ne nous en occuperons pas dans ce Cours, et nous considérerons ce mouvement pour chaque planète, dans la supposition où il résulterait de la seule action qui existe entre, elle et le soleil.

Cela posé, désignons par/* l'attraction mutuelle de deux unités de masse, supposées réduites à de simples points, et placées à une distance égale à Punité de longueur. Soient M et m les masses du soleil et d'une planète ; leur action mutuelle à la distance r aura pour expression — p- • La force

accélératrice sera pour la planète *^ , et pour le soleil ^ -,

et pour chacun de ces deux points elle* sera dirigée vers l'autre. Si donc on veut connaître le mouvement relatif de la planète autour du soleil, il faudra supposer qu'elle soit sollicitée par une force égale à la somme

dirigée vers le soleil, que l'on considérera alors comme fixe; car, d'après la théorie générale du mouvement relatif, on doit appliquer au point dont on étudie le mouvement, une force accélératrice égale, parallèle, et de sens contraire à la force accélératrice qui agit sur l'autre ; on peut ensuite considérer ce dernier comme fixe , et le mouvement de l'autre comme un mouvement absolu. Quant à la vitesse initiale qu'il faudra supposer au point mobile, elle sera la résultante de sa vitesse absolue initiale, et d'une vitesse égale parallèle et de sens contraire à celle de l'autre.

Or, dans le mouvement relatif d'une planète autour du

DEUXliME PA&TIB. — DTITAIIIQUE. 3l

soleil, nous avons trouvé pour Texpression de la

force accélératrice relative, en supposant la distance égale à l'unité; nous aurons donc, d'après ce que nous venons d'établir,

1— -=/(Mh-i«).

On voit par là que — dépendant de m doit varier d'une

planète à l'autre , à moins qu'elles n'aient des masses égales , ce qui n'a aucune vraisemblance. Mais , comme Inobservation a conduit Kepler k regarder ce rapport comme le même pour toutes les planètes , on est obligé d'en conclure que le terme fm est une très-petite partie du second membre y (M 4- /n), et que par conséquent la masse m d'une planète quelconque est très-petite par rapport à la masse M du soleil. Nous verrons bientôt l'application de cette importante remarque,

\ 17* Nous avons été conduit k, la loi de l'attraction en

I faisant usage de formules générales relatives aux force»

centrales; mais on pouvait y parvenir plus simplement par i la seule considération de la force centripète. Avant d'ex-

- poser cette méthode , nous rappellerons quelques formules relatives à l'ellipse, et qui sont d'une application fréquente. Soient a et i (fig' 3) les demi-axes d'une ellipse, c la distance du centre aux foyers. Joignons un point quelconque M de cettç courbe aux foyers F, F' ; abaissons de F, F' et du centre O, les perpendiculaires FP, F'P', OQ sur la tangente en M , et tirons la normale MN, Posons

FM — ^, F'M=:5', FP = p, rv' = p'y

0Q = ^, MNr=:/î, 1^MF = «;

32 COURS DK MECANIQUE»

on obtiendra facilement les formules suivantes :

/ï = -V^J' COSo» = smFMP=x --=:} ^=^- ^=:--=r= —

De ces équations on tire

PP' = *% ?"« = ^% et 9 par suite ,

pp'=^qn, ou pin:: q :p\

La proportion pinZiqip' résulte aussi de ce que les deux quadrilatères FPMN et OQP'F' sont semblables, par suite du parallélisme des lignes FM , OP'.

Dans toutes les sections coniques , le rayon de courbure R est égal au cube de la normale divisé par le carré du de-* mi-paramètre. En effet, abaissons les perpendiculaires MI, M'I' sur les rayons menés à deux points infiniment voi-

M'I MX

sîns M , M' ; rrp- a pour limite i , donc aussi rrp--- Donc, en désignant par a , a' les angles MF^M^ MFM', on aura

Mais

aO' = a4- a'= a / i-H -j j =

2a a ^, aa

-, ou 0'=-^

Or