DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

Vautre, — Supposons, en dernier lieu, que le tuyau soit ouvert à l'extrëmite située à l'origine, et fermé à l'autre. On devra avoir alors

— i = o pour x = o

-7-ï- = O pour X =: ly

et l'on satisfera à toutes les conditions , excepté à celles de Tétat initial , en prenant

o = 2sin ^ y- — \ A sm ^ f h Bcos ^ -f J,

A et B désignant des constantes arbitraires, variant avec n, et la somme Z se rapportant à toutes les valeurs entières et positives de n . On déduit de là pour u et y les valeurs suivantes, dans lesquelles A et B désignent de nouvelles indéterminées, qui diffèrent des précédentes par le fac-

(2/1 -h l) TT ^

teur

(2/1-h i) jTjri , . (2/i+i)7rfl/ (2/ï-4-i)7rar)

ri = 2cos^ -î-r^ ÎAsin^ p hBcos^ -^ }

fl7 = — 2sin r — { Acos^ r Bsin^ i

' allai 2/

Pour que ces expressions satisfassent à Tétat initial , il faudra que l'on ait, entre les limites x = o, x = Ij les deux identités suivantes :

^ (2/1 -\-i)itx ...

2BC0S^ r-^ = ^My

sAsin' ^ — = — «;c(^)-

Ces équations exigent que les fonctions ip (x), x (x)^ considérées dans l'étendue indéfinie de Taxe des a:, soient

telles que, lorsqu'on y change x en — jC, la première reste la même, et la seconde la même au signe près; que les valeurs /-f-a et / — a, prises pour x, donnent pour ^ (x) des valeurs égales et de signes contraires, et pour j^ (x) des valeurs égales et de même signe; et qu'enfin ces fonctions soient périodiques par rapport à x, l'étendue de la période étant 4 i' Ces conditions peuvent être admises, puisque ces fonctions ne sont données qu'entre j: = o, a: = /, et cet état initial assurerait les conditions des extrémités en supposant le tuyau indéfini dans les deux sens et le gaz entière- ' ment libre.

Les valeurs générales de A et B, propres à satisfaire aux équations précédentes, sont

« 2 /* . , , (2/z -H i) Tra ,

2a r^ (2/2 H-i)7ra

La solution de la question sera donc donnée par les formules suivantes :

2 (Ol

M = -r 2 ces

-f- cos ^—