DEUXIÈME PARTIE. dYDRODTNAMIQUE

tuelle; d'où il suit que Fëiat initial étant donné, on connaît

les valeurs de y et ^ pour t = o. Ainsi , en désignant par

F et y* des fonctions arbitraires de Xy y^ z, les conditions de l'état initial seront exprimées par les équations

(2) <p=/(^,r> 2^)» ^ = F('^>J>^)> pour t=zOi

la question se réduit donc à satisfaire aux équations (i) et ( 2 ) . C'est ce que l'on fera au moyen de la formule suivante , qui a été donnée par Poisson :

47r atjQ Jq \ z-\-at sm 9 sm ^

Les intégrations, par rapport à 0, sont faites entre les limites o et TT , et celles par rapport à ^ , entre o et 27r. Cette valeur de (f peut encore être écrite comme il suit :

<p = y- Ji /rfw F ( ^ -+- âff ces a, y -j- at cos^y z+ ai cosy)

-7 — r-^tdai/ljc-^atcosoL. r-f-fl^cosê, a-f-afcosv),

d(*> désignant un élément infiniment petit de la surface sphérique décrite de l'origine comme centre avec un rayon égal à l'unité ^ a , 6 , y désignant les angles formés par le rayon vecteur mené de l'origine à un point de cet élément , et les sommes S se rapportant à tous les éléments de la surface de la sphère.

Cette importante formule est d'une application très-commode lorsque les fonctions F et f sont données, comme dans le cas actuel , pour toutes les valeurs réelles des variables x, ^, Z'^ mais si le fluide était limité, les conditions II. 22

338 GOUKS DE MIÉGANIQUE.

particulières qui en résulteraient deviendraient très-<lifficiles à exprimer, et l'on serait obligé de prendre d'autres formes pour l'intégrale de Téquation (i). Nous ne nous occuperons pas de ce dernier cas. La formule (3) donne la solution complète de la question , puisqu'elle donne la fonction (f , et par conséquent la condensation et les composantes de la vitesse en un point quelconque et à une époque quelconque. Nous nous bornerons à en déduire la vitesse avec laquelle un ébranlement quelconque se propage dans le fluide, et, pour que les résultats soient d'une interprétation plus facile et plus claire, nous supposerons que cet ébranlement n'ait lieu que dans une portion infiniment petite dans tous les sens , dans Fintérieur de laquelle on ait pris l'origine des coordonnées.

Dans ce cas, les fonctions /"(jc, /, z) , F(x, jy, z) seront nulles pour toutes les valeurs de x, jr^ z qui ne seront pas les coordonnées de l'un des points de la partie ébranlée , coordonnées qui seront toutes infiniment petites. Si donc nous posons

(5) X -h at cos 01.:= x' y ^ -f- û^ CCS 6 = ^', z + a/ ces 7 =2',

la valeur de o ne sera différente de zéro pour le point M qui a pour coordonnées a:, y^ z^ que lorsque la valeur de t sera telle, que x\y\ z' puissent être, pour des valeurs convenables de a , 6 , y , les coordonnées de points situés dans la partie primitivement ébranlée; et ces valeurs de a, 6, y sont les seules qu'il y ait à considérer dans les intégrales définies qui entrent dans l'expression de y.

D est facile de se représenter géométriquement les directions correspondantes à ces valeurs de a, 6, y ou de et tp, qui ne donnent pas des éléments nuls dans les intégrales. En effet, le point dont les coordonnées sont les valeurs de x', y', z' données par les équations (5), se construit en portant, à partir de M , une longueur égale à at sur la direction corres-

DEUXIÈME FAKTIE. HTlIKODYTrAMIQUE. 33g

pondante aux angles ex , € , y. Si donc on décrit une sphère du point M comme centre avec at pour rayon, les points de sa surface qui se trouveront compris dans l'ébranlemeut primitif seront les seuls pour lesquels les fonctions/* et F ne seront pas nulles; et les directions des rayons vecteurs menés du point M à ces divers points, sont les seules auxquelles il soit- nécessaire d'avoir égard. D'où l'on voit que la fonction f sera nulle jusqu'à ce que la surface de la sphère, qui a M pour centre, et pour rayon la variable at, commence à pénétrer dans l'ébranlement primitif; et qu'elle redeviendra nulle lorsque cette surface, dont le rayon croit uniformément , cessera de le traverser ; et à chacune des époques intermédiaires , la seule partie de l'ébranlement qui détermine la valeur de f est celle qui se trouve sur la sphère de rayon at.

La conséquence immédiate de cette proposition est qu'un ébranlement infiniment petit dans tous les sens se propage dans .toutes les directions avec une même vitesse égale à a , puisque, au bout du temps t, les points situés à la distance at commencent à se mettre en mouvement,

La durée précise de l'ébranlement en un point quelconque N est déterminée par les deux sphères décrites de ce point comme centre, et qui sont telles, que la partie ébranléesoît tout entière hors de la première et tout entière dans la seconde, en ayant un point commun avec la surface de l'un et de l'autre.

La vitesse de propagation du mouvement dans un homogène, indéfini dans tous les sens, est donc la mi que dans un tuyau cylindrique.

De l'équilibre et des mouvemenis infiniment petit dun fit élastique.