DEUXIÈME PARTIE. HYDRODYNAMIQUE. 34 I

nous à l'axe des x la direction AB. Désignons par X , Y, Z les composantes de la force appliquée à tous les points du fil 5 et rapportée à l'unité de masse : la question est de déterminer, pour un point quelconque du fil , les valeurs de ses trois coordonnées, qui seront constantes dans le cas de l'équilibre, et fonctions du temps t dans- le cas du mouvement.

Considérons un point quelconque P du fil, dans l'état primitif où il ne s'exerce sur lui aucune action extérieure. Sous l'influence des forces X, Y, Z qui agissent sur tous ses points, il y aura un déplacement général : soit M la position, à un instant quelconque, du point matériel situé primitivement en P; nous allons commencer par chercher l'expression générale de la tension du fil à ce point M. Pour cela , considérons de même un second point Q , situé dans l'état primitif à une distance infiniment petite en de P, et qui se trouve en N à Tintant où P est en M; l'excès de la longueur MN sur PQ, étant divisé par PQ ou a , donnera l'allongement, rapporté à l'unité de longueur, qu'a subi le fil dans le voisinage du point P; et il sera facile d'en déduire l'accroissement de la tension..

Désignons par x l'abscisse AP du point P dans l'état primitif, et par x-\-u^ y^ z les coordonnées de M^ les trois quantités infiniment petites u^ f'i ^ seront les inconnues de la question; elles seront des fonctions de x dans le cas de l'équilibre, et des fonctions de x et ? dans le cas du mouvement; X est constant dans le mouvement du même point matériel , et change quand on passe d'une molécule à une autre.

La différence MN — PQ étant très-petite par rapport à PQ, on ne pourra négliger dans son expression que les quantités très-petites du second ordre par rapport à PQ. Or, en ne considérant que les cas où les angles des divers éléments du fil avec l'axe des x restent Irès-petils, on ])ourra

34^ COCKS DB MÊGAïaQUE.

Obliger la diflerence entre ^LN et sa projection sur l'axe des x; et, par conséquent, si l'on désigne par u' ce que devient u au point Q , on pourra écrire

MN — PQ = /*'— u.

Mais u' n'étant autre chose que u dans lequel ou remplace

X par X -h a , on aura

da

en négligeant les termes infiniment petits par rapport au premier, fji divisant cet accroissement par a , on aura , d'après ce qui a été dit, rallongement positif ou n^atif, rapporté à l'unité de longueur, qu^a subi le fil au point dont Fabscisse est x dans Tétat primitif; Texpression de cet allongement est — • Or, Taccroissement de longueur étant proportionnel à Faccroissement de tension, ce dernier aura \iOUT valeur j ;t-' c^? P^^* conséquent, si nous désignons par

T la tension qui a lieu au point M à un instant quelconque, on aura

I du 9 dx

Connaissant maintenant l'expression générale de la tension, on suivra la même marche que dans le cas des fils non élastiques. On considérera un élément infiniment petit MN, et Ton cherchera d'abord toutes les forces extérieures qui agissent sur lui. Ces forces sont les tensions en M et N , dirigées en dehors de l'élément, et les forces X, Y, Z dont la valeur n'a pas changé sensiblement par le déplacement infiniment petit des points ; ces dernières donneront pour l'élément PQ, et, par conséquent, pour MN, les trois composantes

asX, acY, asZ.

Soient maintenant i. u, v les angles que fait avec les axes