DEUXIÈME PARTIE. — UyHBODÏBSHIQUE

autres. Ainsi le mouvement longitudinal, déterminé par u, sera indépendant du mouvement transversal , déterminé pary et z.

Si les forces X, Y, Z sont nulles, les équations (i) se réduisent à

'dF ''Yt'd^''

Elles sont toutes les trois de même forme que celles qui déterminent le mouvement d'un gaz dans un tuyau cylindrique, et elles donneraient lieu à des questions analogues à celles que nous ayons résolues avec détail dans la théorie du mouvement des gaz. On trouverait ainsi que la vitesse

de propagation dans le sens longitudinal est W j-' et qu'elle

Vr

- dans le sens perpendiculaire. On trouverait encore que la durée des vibrations longitudinales du fil ayant la longueur / est 2/ \l^, et l'on voit quelle est indépendante de la tension du fil; la durée des vibrations transversales

- Elle est indépendante de â.

Vibrations longitudinales des verges.

215. On peut remarquer que l'équation qui détert u a été obtenue sans supposer que te fil fût flexible et d petite épaisseur. Elle aurait lieu , par conséquent , pour verge élastique dans laquelle on ne considérerait que mouvements longitudinaux, qui seraient les mêmes |

tous les points d'une même sectîon transversale. L'allongement â que sutit l'unité de longueur, sous l'action d'une force égale à l'unité, variera en raison inverse de l'aire de la section transversale; mais la masse e de l'unité de longueur variera proportionnellement à cette même aire 5 de sorte que le produit de sera indépendant de l'épaisseur de la verge.

Lorsque les extrémités de la verge seront fixes , la durée

des vibra tions*longitudinales sera toujours 2I s/âs^ comme nous l'avons trouvée tout à l'heure dans le cas du fil élastique. Mais on peut encore se proposer de déterpiîner le mouvement de ces différents points lorsque ses deux extrémités seront libres, ou lorsque l'une sera libre et l'autre fixe.

La tension de la verge sera invariable à l'extrémité libre,

et l'on devra, par conséquent, avoir constamment — = o

en ce point. Ces deux nouvelles questions n'offriront pas plus de difficulté que la première, où l'on a supposé les deux extrémités fixes. On trouvera que si les deux extrémités sont libres , la durée des vibrations longitudinales est la même que si elles sont toutes deux fixes ^ mais que , si l'une est fixe et l'autre libre , la durée des vibrations est double. Il y a donc une analogie complète entre les vibrations longitudinales des verges et celles des gAz renfermés dans des tuyaux cylindriques ; une extrémité fixe de la verge correspondant à une extrémité fermée dans le tuyau , et une extrémité libre à une extrémité ouverte.

Des petits mouvements d!un système quelconque de points.

216. Considérons un système quelconque de points assujettis à des liaisons exprimées par des équations entre leurs coordonnées , et dans un état d'équilibre stable , sous Fin-