DEUXIÈME PARTIE. HTDKODYNAMIQUE

fluence de forces qui dépendent d'une manière quelconque de ces mêmes coordonnées. Si Ton écarte très-peu ces points de leur position d'équilibre, en leur imprimant de trèspoti tes vitesses , et qu'on les abandonne ensuite à l'action des forces données , les accroissements des coordonnées resteront toujours très-petits , puisque l'équilibre était stable. Nous allons nous proposer de déterminer ces accroissements en fonction du temps , et de reconnaître quelques propriétés générales dont ils jouissent.

Soient a:, y^ z les coordonnées d'un quelconque des points du système à un instant quelconque -^ a^h ^ c leurs valeurs dans la position d'équilibre, et m la masse de ce point \ posons

a, S, y seront des quantités très-petites, variables avec le temps , et dont dépendra à chaque instant la position du point m.

Nous aurons de môme , pour un second point m',

a/ = rt' 4- a', /' = 6' + 6', z' = c' -{- 7',

et ainsi de suite pour tous les autres.

Soient X , Y, Z les composantes de la force appliquée au point m\ X', Y', 2J celles de la force appliquée à m\ et ainsi de suite. Enfin , soient

(i) Lr=o, M = o, N = o,...

les équations données entre les coordonnées a:, y^ z^ x',y',.-** On demande les équations qui détermineront les quantités très-petites a, 6, y, a', 6', . . . , en fonction du temps t.

Si l'on remplace j: , j^, . . . , par «-{-«, fe-f-6,..., dans les équations précédentes , on pourra se borner dans les développements aux termes qui renferment les premières

puissances de a, ê, y, . . . . En observant d'ailleurs que les coordonnées a, b ^ c, . . . ^ satisfont à ces mêmes équations,

on aura ainsi , en désignant par —S -ry-,..., les dérivées par

rapport à x^ y^ — dans lesquelles on remplace a:, y^. . par a^ b ^... ^

dL dh ^ dL dh ,

^M dM^ rfM dM ,

(.) {-d^^'-^-db^-^-d^'^'^d^^:''" ==^'

dN rfN, ^N é/N ,

Désignons par A, B, C, A',... les valeurs des fonctions X, Y, Z, X',..* dans les positions d'équilibre de tous les points; on aura, dans une position voisine quelconque,

^ , dX dX^ dX dX ,

X = A -h -7— a +-37- 6 H- — r-7 4- -7-7 a -h. . . , aûT db de da'

Y=B-l--7-a + -jj-6H-— -7 rt« rfô r/c

L'équation générale qui détermine le mouvement du système sera , en observant que l'on a