DEUXIÈME PA&TIE. — DTHAMIQUE. S
temps t. Le double de Taire décrite dans l'unité de temps iiyant été désigné par c dont la valeur est, comme nous
Pavons vu , ^fji a (i — e* ) , on aura
sect. MFA = I ^ V^/*^ (» — ^) = -~ ^»
en faisant, comme précédemment , -^^ = n.
Or, on peut avoir ime seconde expression du même secteur en fonction de u. En effet, on a, en observant que les ordonnées correspondantes à la même abscisse dans Tellipse et le cercle sont dans le rapport constant de & : a ,
sect. MFA = - sccl. NFA = yJT^^^ (NOA — NOF);
mais
wrrfcA ^* wr^w NO.OFsinw a'esinii NOA = — a, NOF = = ;
donc
o* V I — é* sect. MFA = — (u — ^ sin u),
Égalant les deux valeurs du secteur, on retrouve Téquation déjà obtenue
ni = u — ^ sin u.
Enfin , on obtiendra une équation entre d et u en égalant les deux expressions de r en fonction de chacune de ces quantités , et Ton retombera sur Féquation
tangiO = 4/— -tangitf.
30. Avant de procéder au développement des coordonnées de la planète en fonction du temps , nous allons montrer comment les formules précédentes se simplifient lors-
58 COURS DE MEGANIQUC.
que Ton peut négliger les puissances de e supérieures à la première ; ce qui est permis pour la plupart des planètes , avec une assez grande approximation.
L'équation u= nt + e sin u donne
u:= nt-h ^sin (nt -f-^sinw),
et , en négligeant e',
u = nf -\- e sin nt.
Or, on a
r = « ( I — e ces u ) ;
donc , en négligeant encore e^, on aura
r = a(i — e co% nt).
U ne reste plus à déterminer que 6. On pourrait le tirer de Féquation de la trajectoire dans laquelle on remettrait pour /• la valeur que nous venons de trouver. Mais il vaut mieux le calculer directement d'après l'équation
r^dO = cdtz=dt sj\t.a{i — e*).
En négligeant le carré de e, l'équation de la trajectoire donne
r = a[\ — ^cosO) et r'=ra'(i — 2^co$9), et , par suite ,
dQ(i — 2^ ces G) = fi?/-^^ = «ûfr;
d'où, en intégrant et observant qu'on a en même temps f = o, =o,
nt =1^ — 2 c sin ,
et, par suite, en négligeant e*,
9 = Tir 4- 2 e sin nt.
TIB. DTMAHKJUB. Sg
31. Le 'mouvement angulaire de la planète serait uniforme, si l'on pouvait négliger le terme -tesinnl. Mais on peut toujours se représenter un point dont le mouvement angulaire aurait pour équation 9 =:; nr , et qui partirait du périhélie en même temps que la planète; il passerait encore en même temps qu'elle à l'aphélie, parce que pour ce point, on a 6 = TT, et, par conséquent, siu/ir = o. Dans la première moitié de la trajectoire, la planète réelle est en avant de la planète fictive, d'une quantité angulaire dont la valeur approchée est a e sin nt , et que l'on nomme Véqualion du centre. Dans la seconde moitié, au contraire, c'est la planète réelle qui est en arrière de l'autre, puisque sin nt est n^atif; elle la rejoint au périhélie, et le même mouvement recommence et se reproduit iudéOniment.
On donne à cet angle ni le nom d'anomalie moyenne; on l'appelle encore le m¥ mouvement de la planète.
La considération de cet astre fictif est utile dans le cas de la terre pour la détermination du temps moyen. On corrige ainsi l'iuégalité du mouvement du soleil dans l'écliptique ; il reste encore à corriger celle qui provient de l'inclinaison du plan de l'écliptique sur celui de l'équateur; et c'est à quoi l'on parvient en imaginant un second astre fictif dont le mouvement est uniforme et compris dans le plan de l'équàteur. C'est lui qui détermine ce que l'on appelle le temps moyen ; il coïncide quatre fois dans l'année avec le temps vrai qui est indiqué par le soleil réel,
Nous allons maintenant chercher le développement des valeurs des deux coordonnées r et ô de la planète en fonction de t. Nous nous servirons, à cet effet, d'une fonr"'" importante due à Lagrange; et quoiqu'elle se rapp( naturellement au cours de calcul dilTérentiel, il ne ! peut-^trepas iuuttle d'en donner ici la démonstration.
Formule de Lagrange pour le développement de certaines
fonctions implicites.
32, Considérons la fonction z de là variable x , déterminée par Téquation
f désignant une fonction donnée quelconque, et a une quantité très-petite par rapport aux puissances de laquelle nous nous proposons de développer z. Les coefficients de ces puissances seront des fonctions de x qu'il s'agit de déterminer, et, d*après le théorème de Maclaurin, seront les valeurs que Ton obtient en faisant a = o dans z , et toutes ses dérivées par rapport k a^ x étant regardé comme une constante. La question se réduit à trouver la loi de ces dérivées.
Ce premier problème n'est qu'un cas particulier de celui que nous avons en vue , et qui a pour objet le développement d une fonction quelconque de ^ , suivant les puissances de a.
Au lieu du développement que nous cherchons, on pourrait , par des substitutions successives , obtenir des valeurs de plus en plus approchées de z. Ainsi, en substituant, dans le second membre de l'équation (i), à z sa première valeur approchée de j; , on aurait
Substituant maintenant cette nouvelle valeur plus approchée dans le même membre , on obtiendrait
3 = a? -h a/[jr -H a/(:F)],
* et Ton pourrait continuer ainsi indéfiniment^ mais on aurait,, de celte manière, des formules très-compliquées, et
DBDXIEMB PABTIE. DIMâMIQUE. 6|
qui ne permettraient pas d'appréciôr le degré d'approximation ; et c'est pour cette raison qn'on a cherché un développement ordonné suivant les puissances de oc, et qui est d'autant plus convergent que a est plus petit. D'après la formule deMaclaurin, nous aurons
11 faut donc connaître la valeur de z et de ses dérivées par rapport à a , quand on y fait a ^ o. L'équation (i) montre que z se réduit, dans ce cas, à j:; ainsi ZB = x,eiil reste
■ \d<xr/.
Pour cela , commençons par différentier partiellement l'équation (t) par rapport à chacune des deux quantités x et a, considérées comme variables indépendantes; nous aurons
et, en éliminant/' (2),
Cette formiJe ramène les différentiations de z par rapport à », à celles de z par rapport à x, dont l'emploi est trèsavantageux, comme on va le reconnaître.
On tirera déjà de là (^),; car, dans l'hypoihès ï =: o , z devient :c , et -j- devient i ; ce qui donne
Pour obtenir -r-rî dîfférentions les deux membres de Téqualion (2) par rapport à «, il vient
d^z on obtiendra en différentiant par rapport à jtr la
dxdoL da*
dz valeur de — j fournie par Féquation ( 2) *, ce qui donne
et, substituant, dans le premier terme de la dernière équadz
da
dz tîon , à — sa valeur donnée par cette même équation , on
d^ z aura la valeur suivante de -7—5 au moyen de dérivées de
z par rapport à .r ,
dz x^ de {fzY —5 on aura enfin j
et comme ce second membre est la dérivée , par rapport à dz dx
^^^ rf^~ 'di '
ot faisant a = o,
d''z\ d,[fxy
dçf} /û dx
Or, nous allons voir que toutes les dérivées suivantes de z par rapport à a s'obtiennent, pour a = o, par des diffé-
