DEUXIEME PARTIE. DYNAMIQUE

rentiations par rapport à x , effectuées sur les différentes puissances àef[x).

Pour avoir la valeur de t-t ' îl faudrait différentier, par

rapport à a, le second membre de l'équation (3); et, comme Tordre des différentiations par rapport à x et a est indifférent , on pourra commencer par différentier

dz {JzY -T- par rapport à a, puis le résultat par rapport à x.

Mais, pour n'avoir pas à recommencer toujours les mêmes

dz

réductions, nous allons considérer généralement 9 (^) ^^

en prendre la dérivée par rapport à a , et la ramener à des dérivées par rapport à x.

On aura d'abord

'^L^^'^y ,,,dzdz ,,d'z

dz /» ' z

remettant pour — ? les mêmes valeurs que précédem-

ment, cette expression devient

ce qui n'est autre chose que la dérivée , par rapport à x , de dz dx

dz T (^)/ (^) T" ^^ * donc la formule générale

doL dx

Au moyen de cette formule, on aurait déduit l'équation (3) de l'équation (2), en supposant (f [z) = f [z]

Si l'on suppose maintenanl cp {z) = (Z^)*, on aura

da dx

et, par conséquent, en différentiant l'équation (3) par rapport à a , on obtiendra

Supposant ensuite <p (5;) = (y^)*, on passera à -— ? et la loi

que ces premières formules manifestent s'observera indéfiniment^ car, si Ton a

dal* daf^"^

en différentiant les deux membres par rapport à a, en faisant usage de Téquation (4), et en prenant f [z) = (fz^^ on obtiendra

.Jo^)^

d a»+» djc^

ce qui fait voir que la loi supposée pour Tordre n a lieu pour le suivant, et comme elle se vérifie pour les premières dérivées , elle a lieu pour toutes ; on a donc généralement la formule

^^-[(Ar"^]

Si Ton y fait a = o, on aura

dz . = ., = ,;

Le développement de z sera donc (6)

=,+.j-(^j^^'<jéî^^€m.