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33. Passons au problème plus général dont l'objet serait le développement d'une foncUon quelconque F (z), suivant les puissances de a, en supposant que z soit toujours déterminé par l'équation (i).

La formule de Maclaurin donne

Le premier terme n'est autre chose que F {x), puisque s devient X, pour et = o. Reste à déterminer généralement

On aura d'abord

Pour avoir -r— j , il faut différentier le second membre par rapport à a ^ ce qui se ramènera à des différentiations rapport à x, an moyen de l'équation (4)- On irouve :

Cette équation conduit de même à la suivante :

d a} dx^

et ainsi de suite, en augmentant à chaque fois l'exposant de f[^z^ d'une unité, ainsi que l'indice de la différentialion du produit entre ces parenthèses. On a donc généralement

rf"F

"-'[F'(^)(/^ry

remplacer z par .r et — - par i \ d'où résultera

do!" daf"-^

Si maintenant on fait a =0 dans cette formule , il faudra

dz dx

d a'" ) "' e/jT"-'

On connaîtra donc tous les coefficients du développement de F l^z) en différentiant, par rapport à a:, des fonctions connues de cette variable. La formule à laquelle on parvient ainsi est

l F(z) = F(ar)-f.aF(a:)/(x)4--^

2 dx

il) ,