DEUXIÈME PARTiE. DYNAMIQUE. ^ I

et , prenaut les logarithmes des deux membres , puis divisant par^^,

On peut développer les logarithmes , puisque X est plus petit que l'unité ; et si l'on remplace les exponentielles imaginaires par des sinus et cosinus , on aura enfin

= u-i- 2 (^sina-+--sin2i«-|-^sin3ii-i--T sin* i» -h. . . J •

Il faut maintenant substituer au, sin u , sin a u^ . . . leurs développements ordonnés , par rapport aux puissances de e , d'après la formule de Lagrange. La valeur de u est déjà donnée par Téquation (ii); et sin u s'en déduit d'après Téquation (8) , qui donne

u — ni e .

sin u = = sin /ir H — sm 2 /i/

H — : ( 3 sin 3 /zr — sin «/ ) -i- . . . *

On trouvera ensuite , par la formule de Lagrange , sin 2 a = sin 2/ïr H- ^(sin3/ir — sinnt) -\-é' {sin ^nt — sin 2 nt)

(4 rin m — 27 sin 3 /îr-f-25 sin 5 wf )-+-.. .,

sin 3 u = sm3 nt -{ — (3 sin A. m — 3 sin 2 /ir)

-f- - f 1 5 sin 5 /ï / — 1 8 sin 3 /i / -4- 3 sin /Il ) 2*^

-hy(gsin6nt — i2siti^nt'\-3sïn2nt)-^,.^.

11 ne reste plus qu'à développer les puissances de X suivant celles de e.

•^2 COUBS DE MÉCANIQUE.

Pour cela , posons

d'où

nous pourrons développer E ''', suivant les puissances de e*, au md*yen de la formule (7), dans laquelle il faudra supposer

On aura ainsi