DEUXIÈME PARTIE. DYNAMIQUE

supposant les axes rectangulaires :

dx^ ây^ dz désignent les composantes du déplacement infiniment petit quelconque, que l'on pourrait faire subir au point {Xyy^ z), à un instant quelconque du mouvement, sans violer les conditions du système, telles qu'elles sont au moment même que l'on considère , et le temps n'étant pour rien dans la considération des déplacements, ou vitesses virtuelles, âx^ cîy, âz.ha somme S s'étend à tous les points matériels du système, et les quantités X, Y, Z seront supposées nulles pour ceux auxquels aucune force ne sera appliquée.

L'équation (i) renferme 3 n variations, le nombre des points étant ri] et elles doivent satisfaire aux k équations différentielles des équations données L = o , M = o , N = o , . . . , ce qui donne

Éliminant k variations, au moyeu de ces équations, il n'en restera 'plus que 3 « — k complètement indéterminées. En égalant à zéro les coefficients de chacune d'elles , on obtiendra 3 w — fc équations qui, jointes aux k premières, détermineront les coordonnées de tous les points en fonction du temps. Le problème se trouve donc ainsi ramené à l'intégration d'équations différentielles.

«jS COURS DE MECANiQfJfi.

40. Si Fou multiplie les équations (2) par des indëler* minées X, fx, v,..., qu'on les ajoute àFéquation (i), et qu'on égale à zéro les coefficients de chacune des variations , on aura

d\v , r/L du dN

X — ffi --4->- ■+- i*- -} hv----h...=rO,

dt^ dx dx dx

iPr d\. du dN

dt^ df dy dy

d^z dh dU rfN

Z — m -7-, + ^ — ; — h fA -— 4- V — - -h . . . m o dt- dz dz dz

,d'x' clL dM dN

Si Ton élimine les k indéterminées X, fx, v,..., on obtiendra in — k équations différentielles du second ordre entre a:, y^ z^ a:',.- et le temps t. Ces équations seront les mêmes que si Ton avait éliminé fe variations, comme nous l'avons d'abord indiqué 5 mais ce procédé a l'avantage que nous avons déjà reconnu, quand nous l'avons appliqué au principe des vitesses virtuelles \ il détermine les forces dont les équations de condition tiennent lieu j et les valeurs des quantités X, ^, v,.,. feront connaître les efforts qu'éprouvent à chaque instant les liens qui assujettissent les points à satisfaire à ces équations.

Si le système est déterminé par d'autres variables que les coordonnées de ses points , on suivra toujours la même marche ; et l'application du principe des vitesses virtuelles fera toujours connaître autant d équations qu'il y a de variables indépendantes \ de sorte qu'en les joignant aux équations de condition, on pourra toujours déterminer toutes les variables en fonction du temps \ ce qui est précisément l'objet que l'on se propose.