DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE. ^Q

Iroduites par l'întégralioii des in — A équations différenlielles seront au nombre de 6/i — â & ; et on les déterminera par les données de l'état initial, c'est-à-dire au moyen des positions de tous les points , ainsi que des grandeurs et des directions de leur vitesse, à un certain instant, qu'on prendra pour origine des temps. Ces positions initiales ne sont pas entièrement arbitraires , parce que leurs coordonnées doivent satisfaire aux k équations données: de sorte qu'on ne peut se donner arbitrairement que 3/i — A de ces coordonnées. De même aussi, les composantes de leurs vitesses doivent satisfaire aux A équations qu'on obtient entre djc d'Y *

— > -T-v"> en différentiant les k équations données^ d'où

il suit qu'on ne pourra se donner arbitrairement que Zn — k composantes des vitesses initiales. Ainsi, pour que l'état initial soit entièrement déterminé, ce qui est indispensable , il faut que l'on se donne 6 w — 2 Âr quantités , qui peuvent être choisies tout à fait arbitrairement 5 mais on ne peut pas s'en donner davantage.

Cela posé, quand on aura intégré le système des équations différentielles , on aura , pour déterminer toutes les coordonnées des n points, d'abord les k équations données, et ensuite 'in — k équations, renfermant 6/1 -^2 A constantes arbitraires. Ces Zn — k équations devant être satisfaites à chaque instant, on y fera f = o, et on remplacera les coordonnées par leurs valeurs initiales : il en résultera Zn — k équations entre les constantes et des quantités connues-, les k équations restantes seront nécessairement satisfaites, puisque l'on a dû choisir les coordonnées initiales , de telle sorte que les liaisons exigées eussent lieu. Différentiant ensuite les 3 « — k équations entre les coordonnées , on en aura un égal nombre entre les composantes des vitesses-, et si l'on y substitue les valeurs initiales des coordonnées et de ces composantes , on aura Zn — k non-

8o COURS DE MECANIQUE.

velles équations entre les constantes arbitraires et des quantités connues. On aura donc enfin 6n — nk équations pour déterminer les 6/i — 2 X: constantes. On en pourra donc tirer les valeurs de ces inconnues, et les coordonnées de tous les points du système seront complètement déterminées en fonction du temps.

Ce que ton entend par forces instantanées. Leur mesure. Détermination du mouvement quelles produisent. 5mperposition de leurs effets .

42. Nous avons démontré, dans le n^ 260, tome I, qu'une force constante pouvait être mesurée par la quantité de mouvement qu'elle a produite, divisée par le temps employé à la produire 5 d'où il résulte que pour produire une quantité de mouvement déterminée , il faut que la durée de l'action soit d'autant moindre que [a. force employée est plus grande, mais qu'il n'y a aucune force qui puisse y parvenir sans employer un certain temps. Néanmoins , si l'effet est produit dans un temps si court , que rien n'ait pu changer sensiblement dans les positions des points, on pourra , dans la plupart des cas, faire abstraction de ce temps ^ et pour indiquer cela , nous donnerons à la force le nom de force instantanée.

Pour mesurer, soit la valeur constante d*une pareille force, soit sa valeur moyenne, si elle est variable, on pourrait la rapporter à l'unité ordinaire, et l'on aurait pour mesure la quantité de mouvement produite, divisée par la durée de l'action. Mais cette durée n'étant pas appréciable, au moins dans le cas où il peut y avoir quelque utilité à considérer ce genre de force, il vaut mieux ne pas l'introduire dans la mesure, et se borner à la quantité de mouvement. On supposera alors ^à Faction la durée que Ton voudra, pourvu qu'elle soit extrêmement petite-, les

bEUXlÈllB PAETIE. — DTifAMIQUS. 8t

^Sel^ n'en dépendront nullement, comme nous allons le faire voir, en donnant le moyen de les calculer. Ainsi nous mesurerons une force instantanée par la quantité de mouvement qu*elle produit en agissant sur un point matériel libre en repos. Et comme la décomposition des forces se fait de la même manière que celle des vitesses, il s'ensuit que les composantes d'une force instantanée, prises parallèlement à des directions données d'après les mêmes règles que pour les forces continues, ne sont autre chose que les forces instantanées qui correspou'^ dràient aux composantes de la vitesse totale suivant les mêmes directions.

Enfin ^ comme les composantes de la vitesse d'un point matériel, parallèle^ à trois axes fixes, se trouvent augmentées par l'action de forces quelconques de la même manière que si la vitesse initiale était nulle, il s'ensuit q\ie les composantes de la force instantanée qui agit sur un point matériel en mouvement, sont mesurées par les quantités de mouvement correspondantes aux accroissements des composantes de la vitesse de ce point.

43. Pour déterminer l'eftet de forces instantanées sur un système quelconque déjà en mouvement, appliquons TéquatiOn (i) à ces forces, en négligeant toutes les autres qui ne peuvent produire aucun elFet appréciable pendant la durée totale 6 de ces actions, dont les unes peuvent cesser avant les autres. Les valeurs de x^y^ z, x',... peuvent être regardées comme invariables pendant ce temps ^ et il est facile de voir qu'il en est de même de dx^ dy^ âz^ — En effet, ces variations satisfont aux équations différentielles de L = o, M = o,..., dans lesquelles t est considéré comme une constante. Or, cette constante ne changeant qu'infiniment peu, dans rintervalle de temps que l'on

82 COUK& DE MBCANIQVE.

considère, les quantités âx^ ày,... ne peuvent changer que de quantités infiniment petites par rapport à ellesluèmes , et doivent par conséquent être considérées comme invariables. Intégrons maintenant l'équation (i) par rapport à t, en prenant pour limites le commencement et la fin de l'intervalle 6; désignons par mX, mY, mZ les composantes de la force appliquée au point dont la masse est m;

. dx . dy . dt , . , , , d'x , d'r , et par û -r-ï a -7-1 a. — les inteeralcs de— ;— rf/, -;— rff , ^ dt dt dt ^ de ' dr '

-^ dt, qui sont les accroissements des quantités -yt

-7-1 — ; nous obtiendrons ainsi l'équation dt dr ^

Or, la force appliquée à la masse m ayant pour composantes jnX, m Y, mZ, les intégrales mJ'K.dl^mJY dt, mjlidt sont les composantes de la quantité de mouve-' ment que produirait cette force dans le temps d, et, par conséquent, les composantes de la force instantanée, d'après le sens que nous attachons à cette dénomination. Si on les représente par X,, Y,, X,, Téquatioa précédente devient

Mais si la masse m était libre, les composantes de la rce instantanée qui changerait les composantes de sa

bEUXIKMK PAVLTIÎB. — DTHAMIQim. 83

vhtôse , de la même manière qu'elles Font été, seraient

dx (Ir dz

dt dt dt

Donc 1 équation (3 ) exprime qU^il y a équilibre entre les forces instantanées qui ont agi , et les forces instantanées , prises en sens coi^tr^ire, qui produiraient le. même changement dans le mouvement de chaque point s'il était entièrenient libre : ces dehiières forces né sont autre chose que les forces d'inertie correspondantes au changement brusque des vitesses. Le principe de d'Alembert s'applique donc aux changements brusques comme à f^eux qui s'opèrent d'une manière continue dans le mouvement d'un système quelconque^ en entendant que les forces instantanées se mesurent par la quantité de mouvement qu'elles communiqueraient à un point libre.

Il est important de remarquer que les accroissements des composantes des vitesses, ainsi déterminés, sont indépendants des grandeurs de ces vitesses, et sont les mêmes que si le système était en repos au moment où agissent les forces instantanées.

Et l'on voit encore que les vitesses, après l'effet des for-ces instantanées, sont les mêmes que si le système partait du repos et fût sollicité par les forces instantanées données, auxquelles on joindrait d'autres forces capables de communiquer au système en repos les vitesses dont les diffé* rents points sont animés à l'instant qup l'on considère.

44. Lorsque l'on aura éliminé de l'équation (3) toutes les variations qui dépendent des autres , et qu'on aura égalé à zéro les coefficients de celles qui resteront, les équations ainsi obtenues renfermeront linéairement les composantes des forces instantanées , et les accroissements des composantes des quantités de mouvement*, et, de plus, aucun terme ne sera indépendant de ces quantités. Ces équations ,

jointes aux équations de condition, dont on dédnirst, pâiY la différentiation^ des équations renfermant linéairement à tous leurs termes les accroissements des composantes des yitesses, déteimineront toutes les quantités inconnues

dx

de

O^, d'après la théorie des équations • du preiûier degré, les dénominateurs de leurs valeurs seront indépendants de Xi, Yi, Zi, X'i,..., et leurs numérateurs les renfernàeront linéairement et sans terme» indépendants. Donc, si les forces instantanées varient toutes dans un même rap-' port, les accroissements des composantes des vitesses va^ rieront dans ce même rapport. £t plus généralement, si Voîi considère autant de systèmes que Von ^voudra de Jorces instantanées y les accroissements des composantes des "vitesses de chaque point j seront les sommés des accrois-* sements qui correspondraient à chaque système de Jorces agissant séparément sur le système des points en repos.

On ari'iveraît à la même conséquence sans s'appuyer sut la résolution des équations du premier degré, et par la seuler observation que nous avons faite sur la forme des équations de la question.

Ainsi, les effets que produirait chacune des forces, si elle agissait seule, se produisent en même temps sans se nuire; ils se superposent les uns auit autres ; et en estimant les vitesses acquises suivant les mêmes directions, elles s'ajoutent pour former la vitesse totale acquise dans ces directions.