EXEMPLES
45, Supposons que deux points, liés par un fil incxten-
DEUXliXE PARTIE. ^- DTNAVIQI}!. 85
Mble, -sot^ut posés sur deux plans inclinés dont Tîntersec* don soit horizontale , et de telle sorte, que leur sytèmc soït toujours compris dans un même plan perpendiculaire <a celte intersection.
Soient m, ni les masses de ces points*; 6, 0' les angles que les plans font avec la verticale; x, j/ les distances AB^ AC (/i^. 5) de ces points au point A , commun aux deux plans , et Z la longueur du fil.
Les forces qui produiraient sur les points libres le moun^ement qui a lieu réellement seraient respectivement
m -T-j-, m' --7-79 €t agiraiept dans les directions AH, AK.
Celles qui agissent eflfectivement sont nig^ ^g^ ^^ sont dirigées dans le^ens de la pesanteur. Il doit donc y avoir équilibre dans le système entre les premières forces prises en sens contraire, et les dernières prises dans le sens même de 1^ pesanteur.
Pour exprimer cet équilibre, nous concevrons un dépla* cernent virtuel infiniment petit quelconque, en observant qu'on peut regarder les points comme obligés à rester dans îe plan AHK perpendiculaire à Finterseclion des deux plans inclinés; car le mouvement réel ayant nécessairement lieu dans ce plan, on peut, sans y rien changer, supposer que les points sont assujettis à y rester.
^ient dXy dod les variations de x^ af\ la somme des moments virtuels égalée à zéro donnera
— m -T— Sx — /w' — TT- ^^ -+- ^'S cos ^Jc -h m' g ces 0' dx' = o, dt^ dt^ ^ "
et comme on a
X 4- Jt' = /^
il en résulte
êx -\- S x' =zo.
Multipliant celte équation par X, et l'ajoutant a la pi^e-
96 tX>DRS PB MiCANIQUS.
njtière, pui$ égalant à zéro les coefficients de Sx^ds/^ il vient
doù
d^ je d^ X
— « -^ + y —- + n^g- cos a — i»i'^ cos 9' = o ,
çt , olwervant que -^ = — -^,
(/w 4- /w') -— . = g^(w CCS ô — m' ces 0'),
d'où
d^x m cos ô — /?î' ces ô'
'dF ~ *^; m-^m!
On tire de là en intégrant, et représentant par i^ la vitçsi^e du point m ,
fl^.r m cos 9 — /w' cos Ô/
—-=:«»== fi'f. : ' h c.
sO I m cos — m' cos Ô' A
ç et c' étant des constantes arbitraires qui se détermineront d'après l'état initial du système.
Soient Xq , ^'o les valeurs de x et i^, pour i? = o , on aura
Si la vîlesse (^o 6st donnée ainsi que Xq , le proMème est enr; tièdement résolu, puisqu'on connaît j:^ et par suite o:^; et la ys^leur de X mesure la tension du fil , qui sera constante^ Mais si Ton donnait seulement Xq et les forces instantanées qui agissent souries deux pointa m.atériels au commençen^ent
DEUXIÈME FARTIE. — DYNAMIQUE. 8^
du mouvement, il faudrait déterminer les vitesses initiales en exprimant qu'il y a équilibre entre les forces mesurées par les quantités de mouvement acquises, et les forces instantanées prises en sens contraires de leurs directions. Soient co, o)' les vitesses que les forces instantanées communiqueraient respectivement aux deux points s'ils étaient libres ; ces forces seront mesurées par mco, m'w'j et, en suivant la même marche que précédemment , on trouvera
dx ,dx' , , ^ (flx \
dt dt \dt I
dx' dx
et , en observant que -7- = — ^9
d'où
dx m fù — w' w' dt m -f- m'
La valeur de X exprime la tension initiale produite par
dx la percussion. Si l'on y remplace — par sa valeur que
QoUs venons de déterminer, on aura
— mm' , ,.
Si Ton suppose == o , 0'= o , le système n'est autre chose qu'une machine d' A twood, dans laquelle on n'aurait pas égard à la masse de la poulie.
46. Considérons actuellement le cas où les deux corps réagissent l'un sur l'autre par l'intermédiaire d'un treuil, et se meuvent chacun dans un plan perpendiculaire à riniersection des deux plans inclinés sur lesquels ils sont posés. Les équations données par le principe de d'Alembert seront alors, en désignant par r, /' les rayons des deux
88 COURS DE ItEGANK^UE.
dections ,
— m -; — ^x — m* -; — ^x' 4- me cos ^9x
dr dr *
-h m' g cos 6' 5 j:' = o ^ r' $x -^ r^x' z= o;
— m -^ -^-mg cos 6 -h X / = q^
— wi' -T^-l- w'gcosÔ'-hX'' = o.
Eliminant X, et observant que — r— == 7—5 il vient
■ ^ di^ r dt^
d^x (/wrcosô — /7i' / cos ô' ) r
On sichèverait la discussion comité dans le cas précédent.
47. Supposons maintenant une chaîne homogène posée sur les deux plans inclinés et glissant sans frottement , en restant dans un plan perpendiculaire à F intersection des 4eux autres. Soient / la longueur de la chaîne, et 8 sa masse, pour l'unité de longueur; on aura
et, par suite ^
Les poids des deui^ parties de la chaîne seront respectivement gzx^ g^^^i ^ les forces qui produiraient l'accéléra-
d*x tion qui a li«u seraîen t , pour chacune de ces parties , e x -^-7 »
%x' --TV* I^Ç principe de d'Alenibçrt dooine alors , en sup-
lTie.. — uvhaiiiqub.
primant le facteor commun e ,
et, par suite,
d'x -"dF-"
d'où , en éliminant X et x',
~ = ^[*cote-t-(a: — /)cos&']
1 ^ ■'V «»8 + cos87
Si l'on pose
IcosO'
= {cosfl + cose') =
on aura
d'pà
ae" + e«-*'-t--
Les constantes a, S se détermineront par l'état initt On trouvera , en faisant I = o ,
ise-t-c.
^'où l'on tirera «r, S, si :i:i, et f^g sont donnés. Si l'on ce
go COURS DE MÉCANIQUE.
naissait seulement les forces instantanées qui déterminent la vitesse initiale f^o ? ^^ supposant connue la position ini-* Ùale, on agirait comme dans un des cas précédents*
La valeur de -r-j- sera nulle quand on aura
de
et, par suite ,
/ cos 0' çosô H- cosO'
, / cos Ô
cos -4- cos ô'
c'est-à-dire quand les deux longueurs x , x' seront proportionnelles aux longueurs des deux plans inclinés ; et si la chaîne était d*abôrd placée dans cette positioil , sans vitesse initiale, elle y resterait constamment.
48. Mouv^ement d*un Jil flexible. — Soit e la masse de r unité de longueur d'un fil dont tous les points sont sollicités par des forces dont les composantes, rapportées à Funité de longueur, sont !?i^, Y, Z, et dont les extrémités sont sollicitées par les forces (Xi, Yi, Zi -, Xj , Yj , Zj)^.
Un élément ds sera sollicité parles forces ILds^ Ydsy Z fis,, et par conséquent on devra avoir, d'après le principe de d'AIembert ,
f[{-''-^)"-{^-m^^-{^-'ih]
ds
-hX.^or, 4-Y,5^,-|-Z.^z.
+ Xa S Xi 4- Yj ^ jj -f- Zj ^ Zj = G ,
l'intégrale ayant pour limites les valeurs relatives aux extrémités du fil. On aura de pjus d ds = o^ on
dx ,. dr ,^ dz ,^
-7- d^x -4- -^ de Y + -r dBz = p.
ds ds ds
DEUXIEME PAETIE. — DYNAMIQUE. 9I
Cette équation a lieu pour tous les points du fil. Si on la multiplie par une indéterminée X qui varie d'un point à Tautre, que Ton fasse ensuite la somme de cette équation et de la première, on aura
Si Ton intègre par parties les termes de la seconde intégrale qui a les menées limites que la première, elle deyient
Si Von réunit les termes soumis au sîgi^e Jfj on devra ^aler à zéro les coefficients des quantités âxj ây^ âz^ et les termes qui ne sont soumis à aucune intégration et qui 3e rapportent ^ux deux limites, devront se détruire entre
eux.
On aura donc d'abord les trois équations suivantes pou(* |in point quelconque du fil :
/ d* x\ dx
d^z\ , ^ dz
•■rfF)''*-''-^* = **'
^1 si les deux extrémités sont indépendantes l'une de Taii-
92 <X)Ufl$ DE MÉCANIQUE.
tre , on aura les deux équations
/ X, Sx, -+- Y. Sy, -f- Z, ^z,
X, s Xi + Y, */, H- Z, Js,
Les équations (i) sont les mêmes que si un élément quel- ' conque ds , au lieu d'être lié aux autres, était sollicité par une force ayant pour composantes
ds ds ds
ou encore par dés forces tangentes à ses deux extrémités , et ayant pour composantes
^ dx ^ dy ^ dz
ds ds ds
à la première extrémité, et
à la seconde. L'effet de la liaison des éléments du fil est donc de profluire en chaque point une tension exprimée par — X.
Si Ton élimine X entre les trois équations (i), on aura deux équations entre j:,j^, z, f, qui détermineront à chaque instant la position de tous les points du fil.
Quant aux équations (2), on commencera par réduire au plus petit nombre possible les variations qui y entrent, et Ton égalera à zéro leurs coefficients respectifs. On aura ainsi les équations qui détermineront à chaque instant la position des extrémités et les quantités arbitraires întro-i
0EDXIKliE PAEtlE. — DTl^AMIQCB. gS
âiiitespar l'intégration, enyjoîgnantdeplus les condition» relatives à Fétat initial et à la longueur du fil.
Si les forces appliquées aux extrémités sont nulles , et que ces extrémités soient mobiles ^ on ne pourra satisfaire aux équations (2) qu'en posant A^ = o, A, = o, ce qui apprend que les tensions extrêmes seront constamment nulles.
Il faut excepter le cas très-particulier où le fil serait constamment perpendiculaire a la ligne ou à la surface sur laquelle une de ses extrémités serait assujettie à se mouvoir ; on aurait alors^ à cette extrémité,
dxi SXi •+- djTi dfi H- dzi ^«, = o,
et il ne serait plus nécessaire qu'on eût X| = o. II en serait de même pour Tautre extrémité.
Si les extrémités sont fixes, les équations (2) sont satisfaites d'elles-mêmes. Mais alors on connaît Xi , j^i , z,, ^s^Xs) ^^i ^^ ^'^^ devra exprimer que les équations de la courbe sont satisfaites par ces valeurs , quel que soit t, ce qui contribuera à déterminer les quantités arbitraires.
49. On pourrait obtenir directement les équations précédentes. En e0et, si Ton désigne par T la tension en un point quelconque ) l'élément ds sera sollicité par des forces dont les composantes totales parallèles aux axes seront
dx dr dz
Xé/j-f-^.T--, Yds-hd.J-^, Zds-\-d,T-r^
ds ds ds
et le principe de d^Âlembert appliqué à cet élément donnera
94 COOBS DE MÉCANIOUÊ.
équations qui ne difierent des équalions (i) que par le cban^ gemenl de — X en T*
A chacun des points extrêmes du fil il devra y avoir équi^ libre entre toutes les forces qui le sollicitent, en y compre^ nant la tension*, car un point géométrique sollicité par une force quelconque acquerrait , dans un temps 0ni quelconques une vitesse infinie 4 Delà résulteraient des équations identiques aux équations ( 2 ) .
50. Considérons le cas particulier d'un fil dont l'ex-* trémîté A [fig^ 6) est fixe, et qui passe en un autre point fixe B , sur lequel il peut glisser , et qui est à une distance /de A. Son prolongement est vertical et soutient un poids T qui mesure la tension du fil en un point quelconque, dans sa position d'équilibre, qui est la droite AB, si Ton suppose que les forces X , Y, Z soient nulles. Prenons la ligne AB pour axe des x, et le point A pour origine.
Cela posé, si l'on écarte infiniment peu le fil delà droite AB ^ en supposant que les tangentes aux diflérents points de la courbe qu^il affectera fassent des angles infiniment petits avec AB j il se trouvera allongé d'une quantité infiniment petite du second ordre , que l'on pourra négliger; Si l'on abandonne ensuite chaque point a lui-même , en lui imprimant une certaine vitesse initiale, on peut déterminer le mouvement qui en résultera.
D'abord il suit de l'hypothèse relative à la position initiale, qu'en négligeant les infiniment petits du second ordre, chaque point se mouvra dans un plan perpendiculaire à AB, et par conséquent le point du fil qui était primitivement en B pourra être considéré comme immobile. Donc X sera constant pour le point qui correspond à une valeur quelconque de l'arc 5, et Ton a
(l^ oc dx
—-— = o, et, par suite, e/.X -— = o.
dt^ ^ ^ ' ds
