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gS COUftS DE MEGANIQUK.

relativement à trois axes mobiles , sera identique à un mouvement absolu quon déterminera de la manière sui\^ante par rapport à des axes fixes : On fera partir le système d^un état initial identique à Vétat relatif initial ^ on appliquera d'abord en chaque point des forces dont les composantés seront exprimées parles mêmes fonctions du temps et des nouvelles coordonnées absolues y que les forces don-nées le sont ao moyen des coordonnées relatives / on y joindra les farces fictives telles quelles ont été déterminées dans le cas d'un point libre : enfin, les points seront assujettis à conserver les distances données les uns avec les etu^ très y et à se mouvoir sur des surfaces ou des courbes ayant pour équations y par rapport aux axés fixes , lès équations données exprimées en coordonnées relatives aux axes mobiles,

54. Cas général. — Les conditions que nous venons d'examiner sont celles qui se rencontrent le plus ordinairement. C'est pour cela seulement que nous les avons présent tëes en premier lieu, car nous aurions pu commencer par le cas, tout à fait général, dont nous allons maintenant nous occuper.

Supposons que les liaisons du système soient exprimées par des équations renfermant le temps et les coordonnées absolues X, y^ z^ xl^ y', z', x!\ y'\ «",.•• ^^^^^ nombre quelconque de points, M, M', M^^,.... Mous avons démontré que le mouvement absolu sera le même que si Ton supprimait les liaisons et que Ton introduisît en chaque point des forces déterminées par les équations qui expriment ces liaisons. Ces forces, pour^un point quelconque M ayant pour coordonnées x, y^ z par rapport à un système quelconque d'axes , sont normales aux différentes surfaces que Ton obtient à Vinstant que Ton considère , en considérant x^yyZ comme seules variables dans toutes les équations

DEUXIÈMB PAKTIB. — DTVAMIQOK. gg

OU elles entrent ; et les yaleurs des composantes de ces forces, parallèlement aux x^ y^ z, sont les produits des dérivées partielles de ces équations, relatÎTement a x, j , -z, par un facteur commun qui n'est pas donné, et qui est le même pour toutes les dérivées provenant de la même équation; en sorte qu'il y a autant de ces inconnues qu'il y a d'équations*, et qu'il est possible, par conséquent, de déterminer, non- seulement les coordonnées de tous les points à chaque instant, mais encore les grandeurs et les directions des forces qui pourraient être substituées aux liaisons, et per^ mettre ainsi de considérer tous les points comme entièrement libres.

Tout cela étant rappelé , il est clair que si nous concevons introduites ces forces qui remplacent les liaisons, nous retombons dans le premier cas -, et le mouvement relatif cherché coïncide avec un mouvement absolu dans lequel ces mêmes forces seraient ajoutées aux proposées et aux forces fictives qui se rapportent au mouvement relatif d'un point libre. Mais comme les forces provenant des liaisons renferment des inconnues nouvelles en nombre égal à celui des équations données, il faudra employer ces équations à leur détermination, afin d'avoir en tout autant d'équations que d^nconnues.

Observons maintenant que si , dans toutes ces équations où nous avons siçposé qu'il n'entrait que des coordonnées absolues , on remplace celles-ci par les coordonnées relatives, au moyen des formules ordinaires de la transformation des coordonnées , rien ne sera changé dans les conditions des liaisons. Or, à un instant quelconque, on peut supposer qu'on prenne pour axes de coordonnées li'ois droites coïncidant avec les axes mobiles dans la position qu'ils occupent à cet instant. Les équations de liaison seront les équations proposées exprimées au moyen des coordonnées relatives. Les forées à introduire auront leurs compo-

FCPO covRs DE nicxmqfim.

santés suivant ces axes , représentées par les dérivées partielles des équations par rapport aux coordonnées relatives^> multipliées par des facteurs communs en même nombre que ces équations j comme nous Pavons rappelé en détail toul à Tkeure. D^où Fon conclut la proposition suivante :

Le moia^ment relatif (ïun système dé points, liés par des équations quelconques ewtfe le temps et les coer^ données de ces points par rapport aux axes mobiles^ est identique à un moui^ement absolu du même système , en supposant : i** qu il parte d'un état initial identique à F état relatif initial; tP qu^ilsoit soumis il V action des forces dont les composantes sont exprimées par les mêmes fofictions des coordonnées des points , que celles des forces données le sont au moyen des coordonnées relati%^es; y quon y joigne les forcei fictiv^es ; 4*^ ^^ ^t% supposant enfin le système assujetti à des liaisons exprimées par des équa^ tions renfermant les coordonnées actuelles de la même manière que les équations données renferment les coor-* données relatii^es,.