SYSTÈMES

55. Quelles que soient les liaisons d'tm système en mou- ▼ement, nous avons vu qu'il y avait constamment équilibre, en vertu de ces liaisons, entre les forces ayant pour composantes

d'x fi'y d^z

dt^ df d^

Or, cet équilibre ne serait pas troublé si Ton ajoutait de nouvelles liaisons qui rendissent rigide le système de»

t>EOXliltfE PARTIE. — DYNAMIQUE. lOt

pcnnts -, donc les équations qui exprimeraient alors l'équi- Ii})re ont réellement lieu quand on laisse les liaisons telles ^qu'elles sont données.

En appliquant cette considération au cas d'un système entièrement libre dans l'espace^ on obdent deux propositions importantes (pii se rapportent au mouvement du centre de gravité du système, et ^ux aires décrites par leê rayons vecteurs de tous les points qui le composent.

Les «qua.tions qui déterminent Téquilibre d^un système rigide libre sont au nombre de six. Les trois premières expriment que les somn^es des composantes -des forces respectivement parallèlesaux trois axes sont nulles séparément ;. les trois dernières, que les sommes des moments des forces sont nulles par rapport à chacun des mêmes axes rectangu* laires. Nous allons examiner successivement les conséquences de ces deux espèces de conditions.

56. Moui^entcnt du centre de gravité. — Les trois premières ^i| a tions doQt nous venons de parler sont

d'où Ton tire

/ V <^'jc ^ ^^y m, fi* z ^

Les premiers membres de ces équations peuvent être iians'. formés en introduisant les coordonnées X\^y^^ z^ du centre de gravité du système proposé, en entendant par là le point qui, à une époque quelconque du mouvement, deviendrait le centre de gravité du système , si on liait instantanément \Gtts les points entre eux.

En effet, les coordonnées de ce point satisferont aux équations

( 2 ) 2 mx = M jr, , 2 my = M j, , 2 /i« = M z, ,

M désignant la somme totale des masses du système.

Ces équations ayant Heu à chaque instant , on pourra les différentier par rapport au temps , et Ton trouvera

.^x à,x ^,dx^ dy „ ^/i -^ dz ^.dz^

(3) 2/w — =M-r-r 2/w-p- = M-^? 2/W-7-=M3-, ^^ dt dt dt dî dt de

et f en les différentiant de nouveau ,

d'x ^.d'Xy d'y „^!ri ^ d^z .,d^z,

d'où, en vertu des équations (i),

(5, m9 = «, M^'.--.T. M£f = XZ,

équations qui expriment que les composantes de Taccélération du mouvement du centre de gravité sont identiques à celles que Ton trouverait pour un point dont la masse serait M, et qui serait sollicité par toutes les forces don-* nées, transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point. Si donc on supposait un point ayant une masse M, partant de la position initiale du centre de gravité, avec la même vitesse dans la même direction, ses coordonnées seraient déterminées par les mêmes équations que celles du centre de gravité, et ces deux points coïncideraient à chaque instant.

Quant à ce qui se rapporte au mouvement initial , supposons qu'il soit produit par des forces instantanées , ayant pour composantes A , B , C au point m \ A\ B', C au point m\ et ainsi des autres, ces forces pouvant d'ailleurs être nulles pour un nombre quelconque de ces points. Si Fan

UEUXIÂHE PAam. — DYNAMIQUE. loS

remplace dans ce qui précède les forces continues par les forces instantanées, ou aura, au lieu des équations (i), les suivantes :

^ dt ^ dt ^ dt

d'où résulte, d'après les équations (3), qui ont lieu depuis le commencement du mouvement, et que nous considérerons à cet instant même,

^ ' ^ dt ^ dt ^ dt '

équations qui sont les correspondantes des équations (5).

On voit donc que les composantes de la vitesse initiale du centre de gravité sont les mêmes qu'elles seraient pour un point ayant la masse M, et sollicité par toutes les forces instantanées qui déterminent les vitesses initiales du système partant du repos, ces forces étant transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point. En réunhsant ces deux propositions, on aura le principe suivant :

Le mouvement du centre de gravité d'un syslème libre quelconque est le même que si Von y réunissait toutes les masses des différents points ^ et quon y transportât, parallèlement à elles-mêmes , les forces instantanées et les forces continues, qui produisent l'état initial et les états subséquents du système.

Si les liaisons d'un système sont telles, qu'à chaque instant les points puissent être déplacés simultanément et parallèlement à une droite fixe , le théorème précédent aura lieu pour le mouvement du centre de gravité , parallèlement à cette droite. Car, en la prenant pour axe des z , et faisant âx=z o, dy=^ o dans Téquation (i), page 77, on aura

lo4 COUBS DE KÉCAKIQUS*

et dz étanl le même pour tous les points ,

d*où Ton lire la conséquence annoncée.

Remarque. — 11 est bon de faire une remarque qui pourra se reproduire souvent, au sujet des forces instantanées <, c'est-à-dire de forces considérables dont on considère l'eflet pendant un temps inappréciable. La conséquence que nous avons tirée c(es équations ( 5 ) étant appliquée à ce genre de forces pendant le temps très-court qu'elles emploient à produire les vitesses initiales, démontrerait que les conapo-î santés de ces vitesses sont précisément les mêmes que si toutes les masses étaient réunies au centre de gravité du système, et que toutes les forces fussent transportées en ce point sans changer de manière d'agir. Mais cette démons-!tration revient à faire une intégration relative à chacune des composantesi de la vitesse du centre de gravité; et c'est ainsi, en effet, que Téquatiop (7) se déduit de l'équation générale (5) qu'on appliquerait à des forces très-grandes agissant dans un temps très-court. Et l'équation même qui nous servira dans Routes l*es questions où il entrera des forces instantanées, c'cst-à-d^re l'application du piiiiçîpe de d'Alembert à ce genre de forces, a été obtenue par une intégration analogue faite sur l'équation qui se rapporte aiix forces continues. Mais une fois ce point bien entendu, il est préférable de ne plus revenir à chaque instant ^ur ce même raisonnement, et d'introduire directement les forces instantanées comme nous avons appris à le faire; c'est pour cela que nous avons écrit les équations (6][ et (7), dont nous