DEUXIÈME PARTIE. — DVNAMIQUE. ] o

aurions pu nous passer au moyen du raisonnement précédent, mais que nous aurions pu aussi poser les premières, en partant de Tétat initial, avant de considérer les états subséquents du système v

Si le système renfermait des points , des lignes ou des surfaces fixes , on pourrait le considérer comme libre , en introduisant les forces qui résulteraient de ces conditions; et le théorème précédent subsisterait bien encore : mais il faudrait ainsi avoir égard à des forces qui ne sont pas données , et qui ne seront connues que quand le n^ouvement sera déterminé.

57. Il résulte de là que si aucune force extérieure n'est appliquée au système, et, plus généralement, si les forces qui y sont appliquées se détruisent quand on les transporte en un même point, le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme. Sa direction est donc celle de sa vitesse initiale, et, par conséquent, de la résultante 4es forces instantanées qui ont mis le système en mouvement, ou encore, des forces instantanées qui lui donneraient, à un instant quelconque, le mouvement dont il est animé.

Lorsque Jes points du système exerceront les uns sur les autres des actions réciproques, égales et contraires, continues ou instantanées, le mouvement du centre de gravité n'en sera pas altéré, puisque ces forces, transportées en ce point, s'y détr^iraient deux* à deux. Ainsi des chocs, ou des liaisons subites établies ent^e plusieurs corps du système, ou encore des explosions intérieures , produisant nécessairement des actions égales et contraires, ne sauraient modifier en rien le mouvement du centre de gravité. C'est en cela que consiste le principe de la conserx'ation du moin^ement du centre de g raidit é.

11 est essentiel d'observer que toutes le$ propositions pré-

lo6 COURS DE MÉCANIQUE.

cédentos sont indépendantes de la nature des forces et des lois de leur action.

S8. Principe de la conservation des moments. — Considérons maintenant les trois dernières équations d'équilibre, qui expriment que les sommes des moments des forces

(l^ je d^ Y d^ a

X — ^'ï-TT' ^ — ''^"TT' ^ — '^ "TT^ ^^^'ï P*"^ rapport

aux trois axes, sont nulle;^. Ces équations sont et peuvent se mettre sous la forme

/ d'z d'jr\ r r^ vx

Ces équations ont lieu à chaque instant du mouvement; elles expriment que les sommes des moments des forces données , par rapport aux trois axes , sont égales à celles des moments des forces qui produiraient sur les points libres le mouvement qui a lieu.

Nous nous occuperons particulièrement du cas où les seconds membres des équations (i) sont nuls. Cela aura lieu d'abord si les forces X, Y, Z, .. sont toutes nulles, c'est-à-dire si le système qui a été mis en mouvement est abandonné à lui-même , sans aucune action étrangère.

DEUXIÈME PÀETIE. — DTHAMIQUE. IO7

Cela aura lieu encore si les points sont soumis à des actions qui seraient en équilibre sur le système rendu rigide ; car ces seconds membres sont les sommes des moments des forces par rapport aux axes, et ces sommes sont nulles si les forces sont en équilibre. Cela comprend le cas d'actions mutuelles égales et de sens contraires, et, par conséquent, de chocs quelconques entre les diverses parties du système.

Enfin, ces seconds membres sont encore nuls si toutes les forces appliquées aux divers points du système passent par un même point, choisi pour origine des coordonnées. En effet, les composantes X, Y, Z d'une quelconque d'entre elles étant proportionnées aux coordonnées du point d'application , on aura

ylà — zY = o, 2X — j:Z=o, xY — ^X = o.

On voit même qu'il suffirait que les forces eussent une résultante passant par l'origine. De sorte que les seconds membres des équations (i) seront nuls toutes les fois que les forces seraient en équilibre sur le système rendu rigide, et lié au point fixe qui a été pris pour origine.

Le cas dont nous allons nous occuper a donc encore une assez grande généralité.

Les équations (i) deviennent, dans cette supposition,

^ ' \ \ do dt^ J '

intégrant par rapport à ^, et représentant par c, c', c" trois

I08 COUBS DE M^A9iIQUE.

constantes , on obtiendra

(dz dY\

Les premiers membres de ees équations sont les sommes des moments, par rapport aux axes, des forces dont les composantes seraient expnmées pour chaque point par

m-T-t m-i-Y m^'i c'est-à-dire des forces instantanées, dt dt dt '

qui produiraient sur chaque point libre, et partant du

repos, le mouvement dont il est animé.

Ainsi , les équations (3) expriment que les sommes des moments des quantités de mouvement gui animent le système à un moment quelconque, estimées par rapport à trois axes rectangulaires, sont constantes j et que, par conséquent , il en est de même par rapport à toute direc-r tion. Ou, en d'aulres termes, si, à un instant quelconque, on considère Yes forces instantanées qui produiraient sur chaque point libre, et, partant du repos, le mouvement dont il est animé \ que Ton décompose chacune de ces forces en trois autres, dirigées suivant les axes des coordonnées, et en trois couples, ayant ces mêmes directions pour axes; la somme des moments des couples dans chacune de ces directions sera constante; et, par suite. Taxe du couplp résultant sera constant en grandeur et en direction.

C'est en cela que consiste le principe de la conservation des moments. Il subsiste, quelles que soient les actions mutuelles qui viennent à naitre entre des points du système, comme par exemple si deux points étaient liés subitement Vun a Taulre, si une partie du système , d'abord gazeusci

DEUXIEME PA&TIE. — OTNAHlQtJE. tOCf

devenait lîc[uide, puis solide, pourvu que cela s'opérât par des actions , deux à deux , égaies et contraires ; ou encore si le changement de température des différents points d'un système changeait leurs actions mutuelles, et, par suite^ leurs distances^ Ces diverses circonstances se présentent dans le système du monde.

Il est inutile de rappeler que les sommes des moments seraient les mêmes pour tout système de forces instantanées, produisant le même mouvement, puisque, d'après le principe de d'Âlembert, ce dernier système serait en équilibre ayec Tautre pris en sens contraire^

59. II résulte de ce qui précède que si$ à un iustant quelconque , on considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les différents points du système, et qu'on les compose comme si elles étaient appliquées à un système rigide, on trouvera toujours la même résultante et le même couple résultant, par rapport à une même origine^

Si Ton applique à ces forces les propositions qui ont été établies dans la Statique relativement à la réduction d'un système quelconque de forces , on obtiendra les conséquences suivantes :

Lorsqu'un système libre quelconque est sollicité par des forces qui se détruiraient mutuellement s'il devenait rigide ,

La somme des forces représentées par les quantités de mouvement de ses différents points, estimées dans une même direction, est constante.

Le centre de gravité du système se meut parallèlement à la résultante des quantités de mouvement, transportées en un même point.

La somme des moments de ces quantités de mouvement par rapport à une même droite est constante.

Si Ton considère ces moments par rapport à toutes les droites qui passent par un même point de Fespace, celle pour laquelle la somme est la plus grande est invariable : c'est Taxe du couple résultant des quantités de mouvement, relatif à cette origine. Cette direction, ainsi que la valeur du moment total correspondant, sont les mêmes pour tous les points de la parallèle à la résultante , menée par ce même point. La direction peut être la même, sans que le moment soit le même, dans le seul cas où les forces représentées par les quantités de mouvement sont réductibles â une force unique. Dans ce cas, tous les points du plan mené par celte force et le point que l'on considère, donneront une même direction pour l'axe du moment maximum; mais le moment ne sera le même en grandeur et en direction que pour les points d'une même parallèle à la résultante.

Il existe un axe central unique, parallèle à la résultante, et tel que pour tous ses points sa direction est celte de l'axe du moment maximum: et ce moment est moindre que le maximum relatif à tout autre point de l'espace. Il se détermine facilement dès qu'on connaît la résultante et le couple résultant relatif à une origine donnée. Dans le cas où le système des forces représentées par les quantités de mouvement est réductible à une force unique, la droite suivant laquelle elle agit est l'axe central.

Conservation des moments dans le mouvement relatif. — Supposons maintenant que les axes auxquels on rapporte la position des points, se meuvent en restant parallèles à eux-mêmes, le mouvement relatif sera identique au mouvement absolu qu'on obtiendrait en partant d'un état initial identique à l'état relatif initial, et introduisant les forces fictives, déterminées précédemment. Dans le cas actuel, où les axes n'ont qu'un mouvement de

DBVSIKME PAKTIB. DÏKÂMIQDR. 1 I ■

translation, les forces fictives se i-éduiroiii, pour chaque point du système, à une force accélératrice égaie , parallèle, et de sens contraire à celle qui donnerait à un point matériel libre le mouvement que suit l'origine des axe» mobiles.

Lorsque ces forces réunies aux forces données seront en équilibre sur le système rigide, on donneront une résultante passant constamment par l'origine mobile, le principe de la conservation des moments aura lien dans le mouvement relatif.

Supposons toujours que les forces données soient en équilibre sur te système rigide. Il sera nécessaire alors que les forces fictives soient en équilibre sur ce même système , ou bîeii qu'elles donnent une résultante qui passe constamment par l'origine mobile.

Or, ces forces se composent en une seule, appliquée au centre de gravité du système, parallèle etde sens contraireà la force accélératrice qui produirait le mouvement de l'origine, et égale au produit de cette force par la masse du système. 11 estdonc nécessaire et suffisant que cette dernière force soit nulle, pour que les autres soient en équilibre. Dans ce cas, l'origine a un mouvement rectiligne uniforme , entièrement arbitraire. On obtient ainsi la proposition suivante:

Lorsque lesjorccs ap/fliqnéet à un système lien j'y rf«truisent lors</ii'il devient rigide, le principe delà consen tioH des moments a lieu dans le mouvement relatif tout système d'axes guise meuvent parallèlement à eu mêmes, de manière que leur point de rencontre ail mouvement t/uelconque rectUigne et uniforme.

Le centre de gravité du système ayant , d'après Thyi thèse, un mouvement rectiligne uniforme, il s'ensuit qui principealieupourunsystèmed'axesdedirectionsconsian

t I a ■ coulis DE MECANIQUE.

et dont Torigine coïncide constamment avec le centre de gravité du système.

Le même principe aura encore Heu lorsque la résultante des forces fictives, au lieu d'êtfe nulle, passera constamment par l'origine; ce qui exige que la droite menée par le centre de gravité du système, parallèlement à la force accélératrice de rorigine, passe toujours patr Cette origine même.

On peut donc énoncer cette seconde proposition :

Le principe de la conservation des moments a lieu , dans le mouvement relatif y lorsque les axes se déplacent parailèlement à eux-mêmes , et que la force qui produirait le moui*ement de l'origine passe constamment par le centre de grav^ité du système i

Ce principe a donc lieu dans le cas particulier ou Torigine a un mouv^ement arbitraire sur la droite que décrit le centre de granité.

Cette dernière pi-oposition renferme, comme cas trèsparticulier, une des précédentes, où Ton supposait que l'origine était au centre de gravité lui-même.

On peut remarquer que le principe démontré dans ce numéro renferme celui du numéro précédent. Il suffit, pour l'obtenir, de supposer nulle la force dirigée vers le centre de gravité.

60. Cas où le moment a la même valeur que siVorigine était immobile. — Les deux propositions précédentes se rapportent seulement à Tinvariabilité des moments relatifs^ mais on pourrait ajouter encore la condition que ces moments fussent les mêmes que si l'origine restait en repos. Voyons s'il est possible d'y satisfaire.

Prenons pour axes fixes des x, y^ z une des positions des axes mobiles \ soient a , ê , y les coordonnées de l'origine mobile , à une époque quelconque. La somme des moments,