DEUXIEME PARTIE. — DYNAMIQUE. 1 l

par rapport à l'axe des a:, sera

La somme des moments relatifs à Taxe mobile parallèle au précédent sera

(b) 2«,[(^- 6)rf(z- 7)- (z- 7)^(^-6)].

On aura dé mènie les moments relatifs auk deux autres axtes^ fixes ou mobiles.

Or, si l'on désigne par j:i,yi, z^ les coordonnées du centre de gravité^ et par M la masse totale du système, la différence des expressions (a) et (&) se réduit à

Il s'ensuit que pour qUe les deux expressions (a) et (b) soient égales , il faiit que l'on ait

dQ dy dXi dZi dy dt

Or, On satisfera d'une manière particulière à cette équation en posant séparément

</e dy dxx ^ dz, dy d6

OU

yr.z.y.d^'.d-^, 6: 7 :: û5r, :£/z., ^:y::d^:dy.

En faisant de même pour les deux autres axes , on voit qu W satisfera à toutes les conditions en posant

a : 6 : y : : da : dî-.dy : : dx, : dy, :dz, : : x, j^, : z. , II. 8

|]4 GOUAS DB «ÏGâflflQUE.

ce qui exige seulement que le eentre de graTité et l'origiiir «émeuvent sur une même droite passant par le point qui a été pris pour origine fixe.

On obtient ainsi la proposition suivante :

Lorsque r origine se meut d'une manière quelconque sur la droite décrite par le centre de grai^ité du système y les moments relatifs ont là même valeur que si cette origine restait fixe.

On ^1 déduit , comme eas particulier, celte antre propo-^ sition :

Les moments relatifs à des axes de directions constantes qui se meurent et se coupent au centre de gravité y sont les mêmes que si ces axes restaient immobiles dans une quel" conque de leurs positions,

61. Conservation des aires, — Les équations (3) peuvent être envisagées sous un autre point de vue , et démon* trent une propriété géométrique remarquable du mouvement en question. En effet ^ si Ton considère Taire conique décrite par le rayon vecteur mené de l'origine au p<^ut dont les coordcmnées sont x^yjZ, elle se projette sur les plans coordonnés suivant les aires décrites par les projections de ce rayon , et dont nous allons calculer les expressions.

Soit 0. l'angle formé avec Taxe des y positifs par la projection r du rayon vecteur sur le plan YZ, et qui tourne de l'axe des y positifs vers Taxe des z positifs, ce qui est le sens direct par rapport à Taxe des x positifs; on aura

tang B= -t les signes de toutes les quantités étant pris de

la manière ordinaire.

On tire de cette équation

d9 ydz — zdy

DEtXlÈliK PAtKTlK; — blTNAXIQIJB. I I $

et conuHe y '.=^ r cos 6 , on aura

Donc ydz — zdy est le double de la diûiéreiitîelle de Taire décrite par le rayon r^ elle est de mètne signe que d6^ et^ par conséquent, positive qUand le mouvement est direct ^ et négative quand il est rétrograde.

Or, si l'axe de Taire plane infiniment petite, décrite dans l'espace, fait un angle aigu avec l'axe des Xy la projection du rayon vecteur sur le plan YZ aura un mouvement direct ] et si l'angle est obtus , ce mouvement sera rétrograde : donc ydz — zdy est égal, en grandeur et en signe, au double de Paire infiniment petite décrite dans l'espace, multipliée par le cosinus de l'angle formé par Taxe de cette aire avec Taie des x positifs.

Cela posé, si Ton désigne par ^, X', V les sommes des aires décrites par les projections des rayons vecteurs sur les plans coordonnés , et multipliées chacune par la masse du point correspondant, les équations (3) pourront être mises sous la forme

d\ dy , àv „

H"'' 'di-^' ^-*''

d'où

en comptant les aires à partir de it = o.

Ainsi , lorsque les points d'un système libre ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles , ce qui comprend les chocs entre les divers points du système , et , plus généralement , lorsquMls sont soumis à des forces qui seraient en équilibre sur le système devenu rigide, et lié invariablement à l'origine , ce qui comprend le cas de forces quelconques dirigée:» vers l'origine; la somme des projections des aires décrites par les rayons vecteurs de tous les points , multipliées res-

I 1 6 COURS DE MiCAÏlriQUé.

■pectivement par les masses de ces points, est proportion^ nelle au temps, pourvu que l'on regarde comme positives les aires décrites d'un mouvement direct, et comme négatives celles qui sont décrites d'un mouvement rétrograde. C'est en cela que ccKisiste le principe de la conservation des aires. On voit qu'il ne diffère que par la forme du principe de la conservation des moments.

62. S'il y avait deux centres d'action, lors même que l'un d'eux serait pris pour origine, les seconds membres des équations (i) ne seraient plus nuls. Mais l'un d'eux disparaîtra si l'on prend pour axe des z la droite qui passe par les deux centres fixes ; car on aura