X:Y::ar:^, ou arY — /X=:o
Donc , dans ce cas , le principe a lieu seulement pour les projections sur un plan perpendiculaire à la droite qui joint les deux centres d'actions, et les couples provenant des quantités de mouvement du système, décomposés sui-^ vaut les trois axes, donneraient un couple constant suivant l'axe qui passe par ces deux points.
63. Plan invariable, — Si l'on cherche le plan sur lequel la somme des projections des aires multipliées par les masses est la plus grande , on trouve , d'après les théorèmes démontrés dans les préliminaires , que les cosinus des angles p, ^, r, que la direction de son axe forme avec les axes de coordonnées , sont
ces p = ■ ?
sj\^ 4 v» ^ r '
cos q = ■ 1
ces /• =
^v-hV'H-r»
nEUXlC:M1S PARTIE. — DYNAMIQUE. ÏIJ
OU
cosp =.
yjc* -H C^» 4. C*'^
COS q = ■ î
00s r rr
La direction de ce plan est donc indépendante du temps, el Laplace, qui Ta reconnu le premier, lui a donné le nom de plan ins^ariable. Les équations (3) montrent qu'on pourra le déterminer si, à un certain instant, on connaît les masses des diilerents points du système, leurs positions et les composantes de leurs vitesses. Les actions mutuelles des points, et les chocs qui peuvent survenir entre eux ne changent pas la direction du plan invariable, puisque les seconds membres des équations ne cessent pfs d'être nuls. Il en est de ipême s'il y a un centre fixe d'action ou un point fixe, pourvu qu'on le prenne pour origine.
On voit que ce plan n'est autre chose que celui du couple résultant des quantités de mouvement, et toutes les propositions q\ii ont été établies pour ce dernier s'appliqueront identiquement à Tautre. Nous nous dispenserons de les rappeler.
64, ^application au système du monde, — En considérant le soleil, les planètes et leurs satellites comme sollicités seulement par leurs actions mutuelles, le centre de grayité de ce système se meut uniformément en ligne droite avec une vitesse qui dépend de celles qui ont été impri- Vfxées à tous ces corps , lorsqu'ils ont été abandonnés à euxmêmes. Gomme nous ne connaissons aucun point fixe, si çLOUs voulons prendre une origine des aires qui donne pour le plan du maximum des aires une direction invi^r
II 8 cou AS DE VÉCANIQUS.
riàble, il faut choisir un point qui se meuve parallèlen^ent à la droite que décrit le centre de gravité ^ et comme cette droite nVst pas connue, il faudra choisir le centre de gra-t vite lui-même. Le plan du couple résultant des quantités de mouvement relatives , ou , en d'autres termes , celui du maximum des aires relatives, pourra se déterminer à une époquç quelconque^ et comme il sera toujours le même, si Ton y rapporte tous les points du système, il pourra servir à comparer les observations astronomiques faites aux épo* ques l^s plus éloignées .
Il est bon de remarquer que ce plan , étant indépendant de la grandeur des actions mutuelles, ne changerait pas, lors B^me que la loi dVttraction de la matière varierait; il es| aussi indépiendant des changements qui peuvent survenir dans la figure des. corps célestes , parce qu^ls proviendront toujours de forces égales d^ux à deux et de sens contraire. Les parties liquides ou gazeuses pourraient se lier invariablement à la partie solide d'une planète ; les planètes pour-t raient se lier entre elles ou se choquer d'une manière quelr conque; elles pourraient être brisées par des explosions,, sans que ce plau fut dérangé.
Il resterait encore le même ^ l'on supposait tous les corps du système sollicités par dçs forces parallèles et proportionnelles aux masses ; car les mouvements rapportéa ^ trois axes menés par le centre de grayité dans des direc-. tions constantes ne seraient pas altérés, et, par couséquent, les aires projetées sur ces plans resteraient Içs mêmes.
65. Équation des forces vwes, — r Cette équation s'obtient en considérant un déplacement virtuel particulier, qui n'est pas toujours compatible avec les liaisons du sys-k tème. C'est celui qui coïnciderait avec le déplacement qui s'opère pendant un temps infiniment petit ds^ns. le mouye- ^ent réel de ce système.
DEUXIÈME PAUTIK. — DYNAHigfUE. I I9
Pour reconnaître quand ce déplacement virtuel est permis, soit L = o une des équations de condition données. hes déplacements virtuels satisferont à Féquation
dL . dh ^ d-L ^ dl. ^ ,
dx dy '' d^ d£
«t lors même que L renfermerait la variable t explicita ment, on ne la ferait pas varier dans cette équation, puisque les déplacements virtuels «e rapportent au mên^e instant.
Si maintenant on désigne par dx^ dy^ dz^ etc., les ac- -croissements infiniment petits que prennent les coordon* nées pendant le temps fit dans le mouvement effectif du système, Féquation L = o devant constamment être satisfaite, Taccroissement de son premier membre, après le temps dt^ doit être nul, ce qui donne, ^ supposant, pour plus de généralité ., que la variable t y entre cxpli-»- «itement ,
dh ^ dL , dL ^ dL ^ ^L , ,
Or ces deux équations seraient contradictoires si l'on prenait
Sx = dxy Sy = flf/, -Sz = dz^ . . . ,
et cette supposition ne sera permise que si l'on a — =. o,
quel que soit t. D'où l'on conclut qu'on peut prendre pour déplacement virtuel le déplacement infiniment petit que subissent en même temps les points du système , en continuant leur mouvement , dan« le cas seulement où aucune des équations de condition ne renferme le temps d'une raa-^ nière explicite.
Supjposons donc qu'il en soit ainsi, et, dans Téqualion
120 COUBS OE M^AMIQOS.
générale
faisons il vie^t
^\r^^i'-^df^-^^^)==^i^àtr^Ydx
Or le p^enxier men^bre es^ la moitié de la différen,tielle de
Z"'\dr'^dF + dr') *"***" ^"f"'
u désignant la vitesse du point dont la masse est nji'\ et Té? quation précédante peut s'écrire s^ipsi :
(i) ^d'Lmv''=i 7.(Xdx -H Y^jr + Z^»).
Elle montre que r accroissement de la demisomme des forces viues de tçus les points dans un intçn^alle dç temps infiniment petit, est égal à la somme algébrique des quantités de trayail des forces données^ développées dans ce même intervalle.
66. Lorsque l^expressîon Z (X.dx -h Ydy -^T^dz) est lî^ différentielle exacte d'une fonction ç de a:, j-, «, ^S Jf'> z\* . .^ considérées comme variables indépendantes, on pourra intégrer les deux membres de Téquation préc^ente, entre deux époques quelconques^ et l'on aura
Ainsi, dans ce cas^ l'accroissement de force vive peut se, déterminer d^s quQ l'on connaît les positions de tous les. points, aux deux époques que Ton considère*, et tOAtes les^
OEUXiilfE PABTIE. — DYNAMIQUE. 121
fois que le système repassera par une même position , la somme des forces vives redeviendra la même.
Si les forces Xi» Y, Z sont nulles, le second membre de Tëquation ( a) est nul et la somme des forces vives est con-^ stante. C'est en cela que consiste le principe de la conser-! i^ation des forces vwes,
67. Si tous les points du système sont soumis à Faction seule de la pesanteur, on aura
X = o, Y=o, Z = — g'rf/w,
^n prenant Taxe des z positifs en sens contraire de la pesanteur. L'équation des forces vives deviendra donc, en désignant par z^ le z du centre de gravité du système, et par M sa masse totale :
La somme des forces vives ne dépendra donc que de la hauteur du centre de gravité du système; et elle redeviendra la même toutes les fois que ce point reps^ssera par le même plan horizontal.
68. Lorsque ce système passe par une position où il serait en équilibre si ses points n^avaient aucune vitesse, on
a alors
2/w (X(Îj: H- Y^jr -h Z^«) = o
pour tous les déplacements virtuels. Et comme on peut prendre
il s'ensuit
2 (Xr/^ -f- Yâ[r -^ z</z) = o,
^t, p^r conséquent, le second membre de l'équation (2), ^yant sa différentielle nulle, sera, en général, maximum ou
132 COURS DE MBCAiriQUS.
minimum relativement à toutes les valeurs par lesquelles il passe successivement. Ainsi , la somme des forces vives du système obtient ses valeurs ma^ima ou minima, lorsque le système passe par des positions où il serait en équilibre si ses points y étaient placés sans vitesse.
