DEUXIEME PARTIE. DYNAMIQUE

et, si on les réunit, on a

(x - y) {da, - rfy) -t- ( r -y) {dy - rf/) -H (g - zQ {dz - rf^Q — - mm r • -ji f

ce qui se réduit à — mm^ Fdf^ en ayant égard à l'équation

On aurait trouvé + mm' F . £^dans le cas d'une action répulsive. Ainsi , tous les termes provenant des actions mutuelles des points seront des différentielles exactes , quand ces actions ne dépendront que de la distance et seront proportionnelles aux masses -, et généralement quand elles seront égales et opposées.

Nous avons démontré précédenmient qu'il en était de même pour toutes les forces agissant vers des centres fixes proportionnellement à une fonction de la distance seulement.

. Mais le théorème n'aurait plus lieu s*il existait des ré-sistances de milieux ou de frottement; les forces X, Y, Z dépendraient alors soit des composantes de la vitesse, soit de la pression contre les surfaces ou les lignes qui produisent le frottement, et

l{Xdx-hYdy-hZdz)

ne serait plus une différentielle exacte.

On observera que la différentielle — mm'Fdf, qui so rapporte aux attractions mutuelles, est négative si //f est positif, et positive si df est négatif. Donc les attractions mutuelles donnent un accroissement dans la somme des forces vives quand les points se rapprochent, et une dimi-« nution quand ils s'éloignent. De même , si les actions sont répulsives, la somme des forces vives croîtra si les pointa s'éloignent, et décroîtra s'ils se rapprochent.

124 COCIL5 DE KÉCAHIQUE.

70. La somme des forces vives a'est pas altérée par le choc des points du système entre eux , lorsque les corps qui se choquent repassent après la compression par les mêmes états que pendant qu^elle s^opérait, et que la force répulsive qu'ils exercent Tun sur l'autre est la même pour les états semblables ; car alors on a des actions mutuelles qui ne dépendent que des distances des points entre lesquels elles ont lieu.

Mais il n'en est plus de même, comme nous allons le voir, quand les corps qui se choquent ne satisfont plus à cette condition , c'est-à-dire quand ils ne sont plus parfais tement élastiques,

71 . Perte de forces vwes prodmte par le choc» — Sup» posons que les corps qui se choquent soient entièrement dénués d'élasticité, et désignons par a, &, c les composantes de la vitesse du point quelconque m avant le choc, et par A, B, C leurs valeurs après le choc qui a lieu entre des parties quelconques du système.

D'après le principe de d' Alembert , que nous avons démontré applicable aux forces instantanées (n^ 42), il devra y avoir équilibre entre les forces de choc, qui sont deux à deux égales et directement opposées, et celles dont les com-o posantes seraient exprimées pour chaque point par

dx dy dz

dt dt dt

ou , d'après les notations précédentes , par

Or, en appliquant le principe des vitesses virtuelles, oa obtiendra une équation indépendante des forces inconnues que produit le choc , en prenant pour déplacement virtuel celui qui s'opérera réellement après que le choc sera ter^