DEUXIEME PARTIE. — DYNAMIQUE
mine. En effet, les corps cesseront d'agir Tun sur Tautre lorsque leur vitesse sera devenue la même dans le sens de la normale commune \ donc alors les moments virtuels des deux forces égales et contraires seront égaux et des ignés différents \ il est donc inutile d y avoir égard dans la somme totale, et Ton aura Téquation
2w [(a — A) c/x -h (^ — B) df ^-(c — C) dz] = o.
Or
dx-=:kdty dyz=:Bdiy rfz = Crf/; donc
2/w (fl A -h aB -f- cC — A» — B' — C) = o.
Soient
(a — . A)» -H (^ — B)' 4- (c — C)» = wS d'où
a A -f- ^B + cC = —^ -,
Féquation précédente devient alors
2/w(p' — V* — «'')=:o, ou Imv^ — 2//îV'= 2/w»'*;
ce qui prouve qu'il y a une perte de force vive égale à la somme des forces vives relatives aux vitesses perdues. Cette proposition est connue sous le nom de théorème de Carnot.
L'auteur l'a étendu au cas où les corps qui se choquent ont un degré quelconque d'élasticité^ mais la difficulté de connaître exactement ce degré en rend l'emploi presque impossible dans l'état actuel de la science. Pour qu'on en pût faire usage avec quelque confiance , il faudrait faire de nombreuses expériences, dont on ne s'est pas ejicore occupé.
La perte de forces vives étant 2miv* dans le cas de corps
126 COOMS DE MlCAHIQUll.
sans élasticité, si Ton considère le système immédiatetnênt avant et après le choc , les points n'ont pas changé sensible^ ment de position. En désignant donc par x^j^, z, x',..., les coordonnées de ces points, au moment où les corps viennent en contact, Féquation (^2) deviendra, en ayant égard à la perte instantanée de forces vives,
Nous verrons, plus tard, Fusage que Von fait des équations (2) et (3) dans le calcul de Tcfiet des machines.
72. L^équaiion (2) prend une forme remarquable quand on y introduit les vitesses des points par rapport au centre de gravité du système.
En effet, soient x, y, z les coordonnées d^un quel-^ conque de ces points par rapport à des axes fixes; ^^ rjy ^ celles du même point par rapport au centre de gravité $ on aura
et, par suite,
r/Urî rfr? ds] //Ç» rfij» rfÇ^ "~ dt* de' dt^ dn de^ di^
/^, ^ ^^ dZj d};\ ^ de dt '^ dt dt '^ de de)
Si Ton désigne par v la vitesse du centre de gravité, par V les vitesses dans le mouvement par rapport au centre de gravité, et que l'on observe que l'on a
</Ç dn dt,
de de de ^
en obtiendra, en représentant par M la masse totale du
