APPLICATION DES PRINCIPES PRÈCÉOENTS AU CHOC DES CORPS SPHÉRIQUES

75. Choc direct. — Supposons deux sphères composées de couches homogènes, et dont les centres soient animés de mouvements uniformes suivant une même droite : si deux corps viennent à se choquer, leurs vitesses seront i difiées; mais leurs centres continueront à se mouvoir d un sens ou dans l'autre sur la même droite : nous n

l3<^ CpITKS DE MÏCâirfQUE.

proposons de trouver les formules qui exprîmeronl, dans tous les cas , leurs vitesses après le choc , en fonction de leurs vitesses primitives.

Nous considérerons les deux cas extrêmes où les corps sont complètement mous, ou bien parfaitement élastiques ; et, pour écarter toutes les difficultés qui peuvent tenir à la forme des corps après le choc , et des mouvements intérieurs qui peuvent y exister, nous les réduirons à deux points matériels ; nous supposerons que , quand ils se trouvent à une très-petite distance l'un de l'autre, il s'exerce entre eux une force répulsive qui ne sera fonction que de la distance dans le cas des corps parfaitement élastiques, et qui, à;u contraire, dans le cas des corps mous, deviendra nulle après un certain degré de rapprochement.

Rapportons la position des deux points à une origine iSxe, prise sur la ligne du mouvement. Soient j:, x* les abscisses de ces points; m, m! leurs masses, (^, v^ leurs vitesses avant le choc 5 V, V leurs vitesses après le choc. Ces quantités seront considérées comme positives quand le mouvement sera dirigé dans le sens des x positifs , et comme négatives dans le cas contraire; de sorte qu'elles seront toujours représentées,. en grandeur et en signe, dx dsBl

Gela posé , si nous désignons par Xi l'abscisse du centre de gravité des deux points , nous aurons constamment

mx 4- /w'ar' = (/» -f- /w') j?,;

et, en dilTérentiant ,

dv , <fj?' , ,- dxi

dl dt ^ ' dt

Or, d'après le principe cte la conservation du mouve-

l>inXlàlllS PAfttlE. — DYNAMIQUE. l3l

dx ment du centre de gravité, — ' est constant, et a la même

vajeur avant et après le choc. Le premier membre a donc aussi la même valeur avant et après le clioc; ce qui donne cette première relation

(ï) mv 4- w'p' = m V -4- m' V,

quels que soient d'ailleurs les signes des quantités f^, %f\ V, V, et soit que les corps soient mous ou élastiques.

Distinguons maintenant ces deux cas :

1^. Si les corps sont entièrement dénués d^élasticité, l'action mutuelle cessera lorsque leurs vitesses seront devenues égales et de même sens 5 on aura alors \' = V, et l'équation (i) donne

mp -I- m'o'

On voit que les deux corps resteront en repos après le choc, si Ton a

mv 4- /w' I»' = o ,

c'est-à-dire si les quantités de mouvement sont égales, et les vitesses de signes contraires.

On vérifierait facilement que la somme des forces vives après le choc est moindre qu'avant le choc, et que la différence est la somme des forces vives correspondantes aux vitesses perdues.

2^. Si les corps sont parfaitement élastiques, la somme des forces vives n'a pas été changée par le choc, et l'on a, par conséquent,

( 2 ) mv^-y- m' v"" = m V -4- m' V.

Les équations (i) et (a) déterminent V et V au moyen de f', >''.

t32 cour» dk MicAirpQine^ .

Si on les met sous la forme

on trouve, en les divisant membre à membre,