DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE. I Sq

Si Ton peut effectuer cette quadrature, on aura t en fonction de d^ et la constante qui s'introduira sera déterminée en exprimant qu'on a à la fois

Si les forces données sont telles, que Téquation des forces vives ait lieu, elle conduira immédiatement à l'équation (2), parce que la vitesse d'un point situé à la distance r de l'axe

étant r — > la somme 2 w^'' aura pour expression

Imr^ -7—5 ou -r- Imr^.

dt^ dr

Exprimant ensuite le second membre de l'équation des forces vives en fonction de la seule variable d, ce qui sera

(d9\* — I en fonction de d, et

Ton trouvera ainsi l'équation (2).

82. Considérons en particulier le cas d'un corps pesant qui peut se mouvoir autour d'un axe horizontal, que nous prendrons pour axe .des j^ Taxe des z étant en sens con-i traire de la pesanteur. Nous considérerons l'angle 6 comme formé par le plan qui passe par Taxe fixe et le centre de gravité du corps, avec le plan vertical YZ; et nous suppo-^ serons que cet angle croisse en allant de l'axe des z positifs vers l'axe des x positifs, c'est-à-dire dans le sens que nous sommes convenus de choisir pour celui du mouvement direct. Le moment relatif à l'élément dm sera gxdm^ car il tend à augnienter Tangle d quand x est positif, et à le diminuer quand x est négatif) l'équation (i) deviendra donc

d^B glxdm

Qu, en désignant par Xi Tabscisse du centre de gravité du

COURS DE HËCASriQUE

corps ,

4t^ "" Ir^dm

Or on a

a?, =r / sin ,

et, par

suite,

dt

9 ^gi ' ^ T = ^ ,, sin e.

Celle équation esl de même forme que celle qui détermine^ rait le mouvement d^un point matériel autour de Torigine, dans le plan XZ. Si Ton désigne par R la distance de ce point mobile à Forigine, ou la longueur de ce pendule simple, on oblient pour l'équation de son mouvement,

-7-r = ^ Sin 9.

Celte équation se déduirait de la précédente, en supposant toute la masse réunie en un même point situé à une distance R de Taxe. Elle coïncidera avec la précédente si Ton pose

SI donc on suppose que pour t = o les valeurs de 9 et de

dB

-- soient les mêmes de part et d'autre, c'est-à-dire si le

plan qui passe par le centre de gravité du corps et l'axe fixe fait d'abord le même angle avec la verticale , et a la même vitesse initiale que ce pendule simple , leur mouvement ser^ constamment le même. Le mouvement d'un corps solide pesant autour d^un axe fixe étant ainsi ramené à celui du pendule , nous nous bornerons à renvoyer à la discussion que nous avons faite de ce dernier.

83, Faisons à ce cas particulier Tapplication que noun

DBtIXiÈMt PAKtlR. — DtMllAlQlIE, i^i

vendus d'indiquer généralement du principe des forces TÎTcs. On a alors

X = o, Y = o, Z = — gdm,

pour les composantes de la force' appliquée à un élément quelconque dm de la masse ; l'éqaatïon des forces vives devient donc

Cdésîgnantuile constante arbitraire. Mais, en représentant par z, le z du centre de gravité du corps, on a

i«toi = M«, = M/co5S.

Si l'on détermine la constante par la condition que les valeurs initiales de 9 et de -j- soient &« et u ^ l'équation précédente deviendra

\dt j Ir'dm

ce qui n'est autre chose que l'intégrale première de Téqua- Uon (3). Le calcul s'achèverait comme dans la théorie du peiidole.

Si Taxe fixe était incliné à l'horizon , une simple décomposition de la pesanteur ramènerait an cas que nous venons de considérer, où l'axe est perpendiculaire à la direction des forces.

84. Un corps solide qui oscille autour d'un axe horizontal se nomme un pendule composé f ce que l'on appelle sa longueur, c'est celle du pendule simple dont le mouvi ment est le même. Ainsi la longueur du pendule compoi

que nous avons considéré est — r^ — Elle ne serait pi

l42 COURS DE MÉGANlQtJE.

changée si Ton donnait au corps une autre position quel-» conque, pour laquelle / et ^r*dm resteraient les lùèmes.

Mouvement d'un corps autour d'un axe, produit par

une force instantanée,

85. Nous avons déterminé le mouvement d'un corps autour d'un axe, en supposant que sa position initiale soit connue, ainsi que sa vitesse angulaire initiale. Mais si, au lieu de cette vitesse, on donne seulement la force instantanée qui Ta produite , il faudra commencer par déterminer quelle vitesse doit prendre le corps, soumis pendant un temps extrêmement petit à Taction d^une force qui aurait produit sur un point matériel libre une quantité de mouvement connue.

Si Ton décompose cette force en deux autres , dont l'une soit parallèle à Taxe, et l'autre dans un plan perpendiculaire , celte dernière produira seule le mouvement. Représentons sa valeur par P, et par p sa distance h l'axe; le principe de d'Alembert conduira à Téquation

(ù étant la vitesse angulaire; d'où, en employant les mêmes dénominations que précédemment,

Ir^dm

La vitesse angulaire produite par l'impulsion étant connue, le mouvement se déterminera comme précédemment; et si aucune force ne reste appliquée au corps,

d^ l'équation (i) donnera -— = 0, et la vitesse angulaire sera

constante.

86. Supposons que l'impulsion ait été produite par le choc d'un point ayant une masse ^, animée d'une vitesse v dirigée dans un plan perpendiculaire à l'axe, suivant une droite distante de l'axe d'une qoanùté /, et admettons que cette masse reste unie au corps au point où elle le rencontre, et dont nous désignerons par A la distance à l'axe.

Si l'on décompose la vitesse c suivant la normale et la tangente au cercle que décrira autour de l'axe le point où a lieu le choc, la première sera détruite, et l'autre aura

pour valeur -r- Représentons par m la vitesse angulaire

du système après le choc ; la masse n aura perdu la vitesse

corps lui aura fait perdre sera f ( T — ^^ ) - '^^'^ ^'"^ donc la mesure de la force instantanée produite sur la masse ^: et, comme l'action et la réaction sont égales, ce sera aussi la mesure de la force instantanée qui a agi sur le corps donné. On rentre donc dan» le cas préi:édent et l'on aura de même

uZ^rfoi; d'où w =

I^ dénominateur est le moment d'inertie du système composé du corps donné et de ta masse qui s'est unie à lui. Si donc on entend que la somme £ s'étend h leur ensemble , on écrira simplement

Si, au lieu d'un seul corps, on en supposait un nombre quelconque dont les masses fussent fi, p', fi", etc. , les vi tesses V, v', v", etc. , et les distances des directions de ce vitesses à l'axe /,y', /", etc. , et que tous ces corps vinssen

i^i fcDtJftS DE M^fcAiriQOÈ.

choquer le premier au même instant , en se rémiîssaht à lui , on aurait

la somme Z r^dm se rappoi*tant à touà ce$ corps réunis.