DEUXIÈME PARTIE. — DTTTAMIQUE. ï
Si oh la prend pour axe des z , le moment d'inertie a pour expression
dm étant la masse de rélément dont les coordonnées sont «^î Jî ^S et l'intégrale s'étendant à toute la masse. De même, les moments d'inertie par rapport aux axes desj' et des X ont pour expressions
89. Connaissant le moment d'inertie d'un corps par rapport à une droite, il est facile de l'avoir par rapporta totîte autre droite parallèle.
En effet, prenons la première pour axe deis z^ et faisons passer le plan des z^ x par la seconde.
Soient a la distance des deux droites , et M la masse du corps. Désignons par M^' son moment d'inertie par rapport à l'axe des z. Celui qui se rapporte à la parallèle aura pour expression
OU, en désignant par x^ Tabscisse du centre de gravité,
90. Si le centre de gravité se trouvait sur l'axe des z, on aurait x^ = o, et l'expression pripcédente se réduirait à
on voit qu'elle ne dépend pas de la position absolue de la seconde droite^ mVis seulement de la distance à^la première \ de sorte que le moment d'inertie d'un corps est le même par rapport à toutes les génératrices d'un cylindre droit quelconque à base circulaire, dont l'axe passe par le centre de gravité de ce corps. Il s'ensuit que si l'on con- II. 10
l46 GOUES DE MlÉGAiriQUE.
sidère les moments d'inertie par rapport à deux parallèles quelconques , leur différence est égale à la masse du corps , multipliée par la différence des carrés de leurs distances respectives au centre de gravité de ce corps.
On en conclut encore que de toutes les droites parallèles à une direction donnée, celle par rapport à laquelle le moment d'inertie d'un corps est le plus petit, est celle qui passe par le centre de gravité.
91. Cherchons maintenant Texpression du moment d'inertie d'un corps par rapport à une droite quelconque AS menée par l'origine et faisant les angles a, ë, y avec les axes de coordonnées. On en déduira facilement le mo-, ment d'inertie par rapport à une parallèle à cette droite, c'est-à-dire par rapport à une droite quelconque de l'espace.
Soient X, y, z (fig* 7) les coordonnées du point M du corps, et dm la masse de l'élément dont ce point fait partie. Abaissant MP perpendiculaire sur AS, on aura
MP = AM — AP '= a:' -h J-' -h z'
— [x ces a -h J cos 6 -+- z ces 7)% ou ' *"
MP = X* siii*a -h J* sin' 64-2' sin'y — nyz cos 6 cos 7 — 2XZ cos a cos 7 — 2 zjr cos a cos 6.
Si l'on désigne par [i le moment d'inertie du corps par rapport à AS, ou S MP drn^ et qu'on pose
J,jc^dm=:a, ly^iim=b, li^dm=:c, lyzdm = d, Ixzdm = r, Ijcydm = /,
on trouvera
yL = a sin' a 4- ^ sin'6 -h c sin '7 — 2d cos 6 cos 7 — 2<? cos a cos 7 — 2/cos a cos €.
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OEUXlàHt PAKTIE. — DYNAMIQUE. l47
a, i, Cj rf, e, /"seront des constantes dét^mînées pa,r la nature du système donné, et sa position par rapport aux axes. Si maintenant on porte sur AS une longueur
AN = -p> et qu'on fasse la même construction pour toutes les directions que peut prendre AS autour du point A, le lieu des points N sera une surface entièrement fermée, puisque AN a toujours une valeur réelle et finie. Pour en avoir l'équation , on désignera par a:, j, z les coordonnées de N , et Ton aura
coSff = jFy/^, cos 6 =//[*, cos7 = 3vjÂ,
L'équation précédente qui donne la valeur de fji devient, en éliminant a, 6, y, fj. au moyen de ces dernières,
Le lieu est donc une surface du second degré dont l'origine est le centre, et c'est un ellipsoïde, puisque aucun rayon nepeut être infini. M. Poinsot le désigne sous le nom di ellipsoïde central, Ïl La forme et la position de cet ellipsoïde ne dépendent en
\h rien du choix des axes de coordonnées 5 mais son équation serait plus simple si l'on ayait pris ces derniers dans la direction des axes de Tellipsoïde , qui forment un système unique, lorsque les grandeurs de ces axes sont inégales, comme cela a lieu en général.
Admettons donc que l'on ait choisi ce système de coordonnées , les constantes désignées par a, i, c, ^, e, / prendront des valeurs dépendantes de ce choix , et telles que les rectangles des variables ne se trouvent pas dans
l48 COURS DE MECANIQUE.
réquation de Tellipsoïdc , et Ton aura par conséquent
r/= o, e = o, /= o, ou
ZYzdm = o, 2 xzdm = o, Ixydm = o.
Donc il existe* toujours un système d'axes tels que ces trois intégrales soient nulles, quelle que soit la forme du corps, et lors même que l'on supposerait un nombre quelconque de corps séparés les uns des autres. Ce système, étant celui des axes de rellipsoïde, sera unique si ces axes sont inégaux. Si deux d'entre eux sont égaux, l'axe perpendiculaire 9cra invariable, mais les deux autres seront deux droites rectangulaires quelconques situées dans le plan des deux axes égaux. Enfin, si les trois axes sont égaux , tout système d'axes rectangulaires passant par le même point jouit de la même propriété. On a donné à ces directions particulières le nom d^axes principaux d'inertie du corps.
Si nous désignons par  , B , G les moments d'inertie du corps par rapport à ses axes principaux , ou , en d'autres termes, ses moments d* inertie principaux ^ nous aurons
et l'équation (i) de l'ellipsoïde central devient
A^'-hBj'-h Cs^= I.
92. Le moment d^inertie /ix par rapport à un axe quelconque passant par IWigine, et faisant les angles a, 6, / avec les axes principaux , s'obtiendra en observant que le
rayon correspondant de l'ellipsoïde étant égal à ~y=î on
aura pour expression des coordonnées .x: , ^, z de son ex-
trémité :
cos a cos 6 cos 7
VV Vf* Vf*
TIE. IIVRAMIIIUB. 149
et, en subsùttiant dans l'équation de l'ellipsoïde, on obtieDt
ft =: A coi' a 4- B cos' 6 -+- C cos' y.
I.e second membre est évidemment plus grand que la plut petite des trois quantités A, B, C et plus petit que la plus grande. On en conclut que le plus petit et le plus graud des moments principaux sont aussi le plus petit et le plus grand des moments relatifs à toutes les droites passant par le même point; comme d'ailleurs on le déduit immédiatement de la comparaison géométrique des rayons de l'ellipsoïde avec ses axes.
Si l'on a A = B, il en résulte
p = A (cos' on- cos'e) + Cco»'-)f, ou
p = A -t- (C — A ) cos' 7 ;
d'où l'on voit que les moments d'inertie seront les mêmes pour toutes les droites passant toujours par le même point , et faisant des angles égaux avec l'axe inégal. C'est ce qu'on aperçoit immédiatement au moyen de l'ellipsoïde central qui est alors de révolution autour de l'axe des z.
