Si l'on avait seulement
Zxidm = o, ïyzdm =0,
l'équation de l'ellipsoïde renfermerait le rectangle xy^, et aucun des deux autres. L'âxe des z serait donc un de : axes principaux , et , par suite , un des axes principaux A nerlie relatifs à l'origine des coordonnées.
94. Clierclions maintenant s'il existe des points tels, <] les trois moments principaux d'inertie qui s'y rapporlei et, par suite, tous les autres, soient ^aux. L'ellïpso: central relatif à ce point se réduira à une sphère , et ton les droites passant par ce point seront des axes principal
l5o COURS n£ MÉCANIQUE.
Supposons, pour plus de simplicité, que Ton ait pris pour axes de coordonnées les axes principaux relatifs au centre de gravité du corps, et désignons par jc', j^', z' les coordonnées du point cherché. Si par ce point on conçoit des parallèles aux trois axes des x^ y^ z^ ces droites devront être des axes principaux relativement à ce point, et, par conséquent, on dc^vra avoir
2 (s — z') [x — 3i/)dmz=z o, 2 (a: — j?') (/— /)rfm = o;
or on a , par hypothèse ,
Ijrzdm = o , Ixzdm = o , Ixjrdm == o , Ijcdm = o, Ifdm =o, Izdm = o.
Les équations précédentes deviennent donc , en désignant par M la masse totale du système,
My z' = o^ Mx'z^ = o, Mx^y zz= o'y
ce qui exige que deux des trois quantités x', y\ z' soient nulles. Soient x' = o, j^' = o; les moments relatifs aux nouveaux axes seront
A 4- M 2'% B-f-Mz'% C.
11 ne reste plus qu'à exprimer que ces trois valeurs sont égales 5 ce qui exige que l'on ait
A = B, A-f-Ma"=C.
Ainsi , deux des moments principaux relatifs au centre de gravité doivent être égaux, et les points cherchés, s'il y en a, seront nécessairement situés sur Taxe correspondant au troisième moment. Mais, pour que z' soit réel, il faudra que Ton ait C > A ^ ainsi , on a cette dernière
UEU.MlfllK PABTIe. — UVNAUKjlTK. |5|
condition, que ce iroisièmc moment soit le plus grand. Quand toutes ces conditions seront remplies, on aura deux pointa qui satisferont à la question; ils seront situés sur Taxe du plus grand moment, de part et d'autre du . centre de gravité, et à une distance de ce point égale à
95. Les axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité d'un corps jouissent de la propriété remarquable d'être des axes principaux relativement à un quelconque de leurs points, et d'avoir pour conjugués des axes parallèles à ceux qui se rapportent au centre de gravité.
En elTet, considérons l'un quelconque des trois, par exemple l'axe des e , et transportons l'origine en un quelconque de ses points , dont le z soit h \ il suffira de poser
Or on a, par hypothèse,
Zjrzdm ^ o, i.vzilfti i= o, Ixydm =•;
d'ailleurs
lytflm := tjz' dm -\- hZydin = Xyz'din; donc
et, de même,
txi'dm = o.
Donc les parallèles aux trois axes principaux relatifs au centre de gravité , menées par un point quelconque de l'un d'eux, sont des axes principaux relativementà ce point.
96. Moment d'inertie d'un parallélipipède rectan gle. — Si, par le centre de ce parallélipipède, supposé hoi gène , on mène trois parallèles à ses arêtes , on aura les principaux relatifs au centre de gravité. Désignons pi
l52 COURS DE MÉCANIQUE.
6, c les longueurs des arêtes , et par M la masse du parailélipipède^ les moments d'inertie par rapport aux axes qui leur sont respectivement parallèles seront
«,t±s:\, M^îiisv m""'
Le moment dHnertie par rapport à une droite faisant les angles a, S, y avec les arêtes a, &, c et située à une distance d du centre du parallélipipède, serait donc
— [(b^ -H c') cos* a -f. (a' 4- c») ces» ê -f- («' -i- è») cos * 7] -f- Mrf^
Si l'on considère successivement les trois arêtes du pa|:*allé' lipipède, les mo^ients d'inertie seront
97. Moment d'inertie d*un ellipsoïde, — Il suffit de connaître ceux qui se rapportent aux trois axes principaux d'inertie passant par le centre de gravité , et qui seront les axes mêmes de rellipsoïde que nous supposons homogène. Soit son équation
et cherchons le moment d'inertie par rapport à l'axe des z, La partie du volume qui se projette suivant le rectangle dxdy est
7, c dxdy
et, par conséquent, si l'on désigne par D la densité de 1^ ^^bstance , le moment d'inertie du corps sera
Xi^ ^[x-' + r)^ x-'^-Cdxdy,
DLUXIUIE rARTlE. — DIKjlHlQUB. l53
que l'ou peut décomposer aiusi :
Considérons d'abord la première partie, et commençons par intégrer, par rapport à y^ entre les limites
L'intégrale
prise entre ces limites, n'est autre chose que l'aire du demicercle qui a pour rayon
sa valeur est donc
et il faut intégrer maintenant, par rapport à x, l'expression
7tècD:rM I— * jrfar, depuis x= — a jusqu'à x^-j-a, ce qui donne
en désignant par M la masse de l'ellipsoïde.
ï*a seconde expression qu'il faut maintenant intégrer
l54 COURS DE MiCANIQUE.
difTérant de la première que par le changement réciproque de a: en j^ et de a en i, conduira à — p- ; de sorte que le moment d'inertie par rapport à Taxe des z sera
et l'on trouverait, pour les deux autres axes,
„i'fi+fV m'"+
OU
98. Si l'on fait croître le rayon a de cette sphère de la quantité infiniment petite da, son moment d'inertie croîtra de j7rDa*rfa, qui exprimera le moment d'inertie d'une couche sphérique de rayon a ayant pour épaisseur da , et pour densité D.
Si maintenant on suppose que D soit une fonction donnée de a, et qu'on intègre cette expression entre deux valeurs R , R', on aura le moment d'inertie d'une sphère creuse non homogène, dont la densité ne dépendra que de la distance au centre.
99. Moment d* inertie d'un solide de résolution. — Considérons encore le solide homogène engendré par une aire plane tournant autour d'une droite située dans son plan , et que nous prendrons pour axe des y. Soient F ( j), ç (y) les expressions des abscisses des deux courbes qui terminent Taire , et D la densité de la substance : le moment d'inertie de la tranche comprise entre deux plans perpendiculaires à
Dans le cas où a = 6 = c , on a le moment d'inertie d'une !
sphère par rapport à l'un quelconque de ses diamètres^ son expression est
2Mfl* 87: D a'
DEUXIÈME PAUTIE. — DYNAMIQUE. l55
Taxe, et correspondants aux ordonnées jr gI jr-i-dy^ sera ^TiUdyfx^dx^ en prenant cette intégrale entre les limites
ç (j), F [y) ; ce qui donne
Il ne restera plus qu'à intégrer cette expression par rapport à y entre les limites de Taîre génératrice.
Si , par exemple , un a
le solide devient une sphère ; et le moment d'inertie aura pour expression
comme nous l'avions déjà trouvé.
ou p— 5
