DEUXIÈME PARTIE. — DTNilMIQUE. l
Or, cette langueur peut rester la même pour une infinité de droites difiercntes, puisque a , S , y, / sont indéterminés.
101 . Si l'on cherche les valeurs que doivent avoir ces indéterminées , pour que l'expression précédente soit minimum , on saura autour de quel axe il faut que le mouvement ait lieu pour que Toscillation se fasse dans le moindre temps possible.
Or, parmi tous les axes pour lesquels k* serait constant,
celui qui donne le minimum pour la longueur ^ 4- -j-
correspond à l = h'^ et la longueur du pendule est alors égale à 2/I:. Elle sera donc la plus petite possible lorsque A* aura sa plus petite valeur. Ainsi , roscillation sera la plus courte lorsque Taxe de suspension sera parallèle à l'axe du plus petit moment d'inertie relatif au centre de gravité ; et sa distance k à cet axe est égale à la racine carrée du rapport de ce moment d'inertie à la masse du corps.
102. Percussion contre l'axe, — La force instantanée qui met un corps en mouvement autour d'un axe fixe, produit sur cet axe une sorte de choc ou de percussion qu'il est nécessaire de connaître, et qui provient des forces qui se font équilibre au moyen de sa résistance. Prenons cet axe pour axe des z\ et pour plan de x et j, le plan perpendiculaire mené par le point d'application de la force. Décomposons cette force en deux autres : l'une , Z , parallèle à l'axe fixe ; l'autre, P, située dans le plan XY, et ayant pour composantes X, Y.
L'équilibre devra avoir lieu entre les forces — X, — Y, — Z, et celles qui seraient mesurées par les quantités de
mouvement dm -;-^ dm -r-? r/m-- relativement a tous les
dt dt dt
dz éléments du corps 5 et il faut observer que l'on a y =: o,
puisque le mouvement a lieu autour de Taxe des z.
l58 COURS DE M^CAKlQUt.
Soient x^y^ z les coordonnées de rélément dm , r sa distance à Taxe, Q l'angle formé avec l'axe des x par la projection de la perpendiculaire abaissée de cet élément sur Taxe, et o) la vitesse angulaire produite. On aura
X =1 r ces 0, r=rsinô, -—=«;
en diflférentiant par rapport à ^, on aura
dx . ^dB dr ^dQ
-r-Z= rSm0-r-5 -7-='' CCS -r- 9
dt dt dt de
OU
dx dr
dt -^ * dt
et les composantes de la force appliquée à l'élément dm parallèlement à Taxe des j: et à l'axe des^, seront respectivement — tùydm et tùxdnt.
Si maintenant on décompose le système de ces forces, jointes à — X, — Y, — Z, en trois forces dirigées suivant les axes des x^y^ z^ et en trois couples ayant leurs axes dans ces mêmes directions , on trouvera , pour les forces , les expressions
— X— «M/,, — Y^-wMo:, , — Z,
x^^jx désignant les coordonnées du centre de gravité du corps; les trois couples auront respectivement pour expressions
aetb étant les coordonnées du point d'application de la force.
Or, le dernier couple est nul de lui-même , d'après la condition d'équilibre autour de Taxe; et les efforts exercés sur Taxe ne proviennent que des deux autres couples et des forces dirigées suivant les trois axes.
uEDsiËHE PAKTie. — nyHAMiQOE. I Sg
103. Cenliv de percussion. — Cherchons maintenant les conditions pour que l'axe ûxe ne reçoive aucune percussion. Il faut pour cela qu'il y ait équilibre, indépendamment de cet asc , et que , par conséquent , les forces dirigées suivant les axes, et les couples situés dans les plans coordonnés, soient nuls séparément ; ce qui donne, en supposant, pour plus de simplicité, qu'on fasse passer le plan des x et apar lecentre degravité du corps, et «pie par conséquent fi soit nul ,
2=0, X = O, Y = MMa-,, Ixtdm^o, ï rïrfm=o, — aY -\- mlr'tim ^o.
La dernière équation fait connattre la vitesse angulaire ; les deux précédentes indiquent que l'axe des z est un des axes principaux qui se coupent à l'origine des coordonnées. La première apprend que la force doit être située dans uu plan perpendiculaire à l'axe fixe, et la seconde prouvequ'ellc est perpendiculaire au plan passant par l'axe et par le centre de gravité du corps.
Pour connaître la distance a de la force instantanée à l'axe fixe en fonction des données , il faudra , dans la dernière équation, substimcr à '■> sa valeur tirée de la troisième, et l'on trouvera ainsi
ir'dm
el si l'on désigne par MA' le moment d'inertie du corps, par rapport h une parallèle à l'axe menée par le centre de gravité, cette équation devient
el par conséquent a est égal à la distance de l'axe fixe ai centre d'oscillation du corps par rapport à retaxe.
l6o COURS DE lIECABilQUE.
Ainsi , pour que l'axe n'éprouve aucune percussion , il est nécessaire et suffisant ;
i^. Que la force soit perpendiculaire au plan passant par l'axe et le centre de gravité du corps ^
2^. Que cet axe soit un des axes principaux du corps par rapport au point où il est rencontré par le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force ^
3^. Que la distance de la force à Taxe soit la même que celle du centre d'oscillation du corps autour de ce même axe.
Cette dernière condition montre que la question proposée est impossible quand le centre de gravité est sur Taxe; car alors la force devrait se trouver à une distance infinie.
Le point où la force doit être appliquée, dans le plan passant par Taxe et le centre de gravité, se nomme centre de percussion ; il est situé sur la ligne qui contient les centres d'oscillation.
Réciproquement, si le corps était en mouvement autour de l'axe, on pourrait l'arrêter brusquement au moyen d'une force appliquée au centre de percussion, sans qu'il en résultât aucun effet sur Taxe, en supposant que les circonstances que nous avons indiquées aient lieu.
iQ4. Si Ton avait seulement
2 xzdm •= o , Xyzdm =r o , Z == o ,
la percussion éprouvée par l'axe se réduirait à une force passant par l'origine, et qui serait détruite si l'origine était fixe. Dans ce cas , la force instantanée produirait donc un mouvement initial autour de Taxe des z comme s'il était fixe. Et il en serait de même si , au lieu d'une seule force, on en avait un nombre quelconque dans le même plan ;
