FIXE

108. Le problème dont nous allons nous occuper maintCT nant, peut s'énoncer ainsi : Un corps solide , ou un système rigide quelconque , lié à un point fixe , étant sollicité par des forces données, et partant d'un état initial connu, déterminer à chaque instant la position de ses différents points^

l66 COURS DE MÉCANIQUE.

Pour cela , nous choisirons trois droites rectangulaires passant par le point fixe et liées invariablement au corps *, la question sera ramenée à la détermination du mouvement de ces trois droites*, et leur position se déterminera, comme nous l'avons déjà vu dans les préliminaires, soit par les angles que chacune d'elles forme avec trois axes rectangulaires fixes , soit au moyen de trois autres angles seulement, ce qui sera plus avantageux.

D'après le principe de d'Alembert , on obtiendra toutes les équations nécessaires à la détermination du mouvement, en exprimant qu'il y a équilibre à chaque instant entre les forces données et les forces d'inertie du système , considérées comme appliquées à ses points même.

On trouvera ainsi , comme on le sait, six équations, exprimant que les sommes des composantes de toutes ces forces , ainsi que de leurs moments , par rapport à trois axes rectangulaires, sont nulles. Ces trois axes peuvent être choisis à chaque instant, dans une position arbitraire. Les six équations que nous rappelons, exprimeront toujours l'équilibre qui doit avoir lieu , et seront toujours exactes par conséquent : ainsi, par exemple, il est permis de considérer à chaque instant les axes liés au corps , et de prendre les composantes des forces, parallèlement à ces axes, et leurs moments par rapport à ces mêmes axes. Les six équations obtenues ainsi , détermineront certainement le mouvement. C'est la marche que nous suivrons. Elle conduit facilement aux équations 5 mais comme les quantités qui y entrent dépendent de la position des axes mobiles , il restera à faire des transformations propres à déterminer les positions par rapport à des axes fixes.

109. Composantes de la force iï inertie pour un point quelconque, — Ces composantes rapportées à Tunité de masse sont, au signe près, celles delà force accélératrice qui

DEUXIÈME PAETIE. -^ DTNAMI<]UE. 167

produirait sur le poiiH libre le mouvement quHl a ^ ces dernières sont, comme on le sait, les dérivées secondes, par rapport au temps, des coordonnées du point , estimées parallèlement à trois directions invariables quelconques. Nous choisirons pour ces directions celles qu'ont les axes mobiles à un instant quelconque , et que nous considérerons comme devenant invariables. Les composantes de la vitesse, par rapport aux axes mobiles, sont

w, V, iP;

elles deviennent

après le temps dt^ mais ne sont plus estimées parallèlement aux mêmes axes Xi , Yi , Zi ; elles le sont par rapport aux directions qu'ont les axes mobiles après le temps dt^ et que nous désignerons par X^ Y', Z'.

Si donc on les projette toutes les trois sur chacun des axes X| , Y| , Zi , on aura les composantes de la vitesse suivant ces mêmes axes après le temps dt ; et si Ton en retranche respectivement i/, <^, iv, puis qu'on divise les restes par dt^ on aura les trois composantes de la force accélératrice suivant Xi , Yj , Z^ , que nous désignerons par u', i^', tv'. Gela posé, les valeurs de u, f^, w étant, d'après le n^ 230, tome I®"",

(i) « = ^z, — rj,, çzn rx^—pz^^ (v=zpy^ — qx^^ on obtient, en les différentiant,

du z=: Zidq '^ y^ dr^ dv =z Xi dr — z, dp , dw z=z y dp — x^dq^

Les quantités

u^ du, V -^ dpy w •+■ dw

étant connues, et comptées sur les axes X', Y', Z', doivent être projetées toutes les trois sur chacun des axes Xi , Yj , Z^ 5

l68 COURS DE MÉCANIQUE.-

il faut donc d'abord calculer les cosinus des angles des di« rections X', Y', Z' avec les directions Xi , Y^ , Zi. Or, les cosinus des angles que fait la direction Xi avec les axes fixes X, Y, Z sont

ceux qui se rapportent à la direction X' seront, par suite,

a -k- dtty û' -^da^ , a"-h da" ;

On aura des expressions analogues pour les directions Y^ , Y' et Zi, Z'. Il est donc facile de calculer les cosinus des angles des trois premières directions avec les trois autres.

On -voit d'abord , qu'en négligeant toujours les infiniment petits du second ordre , on peut remplacer les cosinus des angles infiniment petits par l'unité^ d'où résulte

cosX'X,= i, cosY'Y, = i, cosZ'Z, = i.

On trouvera ensuite

co%TZ,z=z{b^db)c'\^{b'-\-db')c'-i^[b" + db") 0^ =zcdb'hc'db'-{-c''db%

et de même

ces Y, Z' = bdc ^b'd(/-h b" de" ^

et comme on a

bc^ b'c' + b"c" = o^ on en tire

bdc ^b'dc' -h b"d<^' + cdb -f- c^db' 4- c" db" = o.

D'ailleurs on a (n« 230, tome P')

cdb H- c^db' H- c'db" =pdt; donc

ces Y' Z, = — cos Z' Yi = pdt .