DEUXIEME PA&TIE. — OTITAMIQUE

On trouverait des résultats semblables pour les autres angles ; ce qui nous donne

cos Y'Z| = — cos Z' Y, = pdt^ cos Z'Xi = — cos X'Z, =r qdt^ cosX'Y, = — cos Y'X, = rrf/ ( ♦ ).

Rien n'est donc plus facile, maintenant, que déformer les valeurs de u\ t^', iv'; et l'on trouve, toutes réductions faites ,

, dq dr . . , .

(2) { i>' =z.x, ^— z, ^ -\'r{qz, — ry,)—p[pyx'--qxt)y

^' = r. -^ — ^. -^-h;?(rjr. — pz^)--q{qZt — rr,).

HO. Équations du mouvement, — Si l'on désigne par Xi , Yi , Z 1 les composantes parallèles aux axes mobiles , de la force motrice appliquée à un point quelconque, le principe de d'Alembert fournira les trois équations sui« vantes .

^iXi^' — Zi*'') rf/W=: 2(riZ, — z.Y,), 2 ( «, a' — Xi w^) dm = 2 ( z, Xi — J?iZ, ) , 2 ( a?, (/ —^1 m') dm = 1 (xi Y, — /iX.) .

Les sommes indiquées dans les premiers membres se rapportent à la masse entière , et celles du second , aux forces

(*) Ou voit; par ces formules, que les quantités pdtf tjdty rdt, qui déterminent Taxe instantané de rotation, et les composantes de la vitesse angulaire, ont une autre signification géométrique remarquable. Elles représentent les cosinus des angles que font deux à deux les directions des ^xes liés au corps, avec leur position infiniment voisine. Cette remarque a été faite pour la première fois, je pense, dans la première édition do cette Mécanique.

lyO COURS DE MÉCA91QUS.

extérieures qui peuvent être appliquées, tant à tous les points du corps qu'à certains points particuliers en nombre fini. Ces dernières peuvent être exprimées à chaque instant d'après les éléments qui déterminent la position du corps ; ce sont donc des fonctions connues des angles f , ^, 6, •et peut-être de t , dans le cas où les forces dépendraient du temps.

Quant aux premiers membres , ils auront une expression extrêmement simple si Ton choisit les axes principaux d'inertie du corps pour les axes Xi, Yi, Zi • Alors les sommes YtYxZidm^ "LziXidm^ ^x^y^dm sont nulles^ et si Fondésigne par A , 6, C les moments d'inertie du corps par rapport aux axes respectifs des Xi, 7^1, ^t, et par L , M, N les fonctions connues, qui sont les expressions des seconds membres , on aura les trois équations suivantes :

Aj=r(B~C)^r4-L, (3) \B^=(C-A)i7;4-M,

Ces trois équations , jointes aux équations (3 ) , forment un système de six équations différentielles du premier ordre, qui déterminera les six fonctions p^qyr^(f^^^Qca fonction de U Les six constantes arbitraires se détermineront par les positions et les vitesses initiales.

Propriétés diverses de ce mouvement dans le cas où il n'existe pas de forces extérieures.

111. Application du principe des aires. — Lorsqu'un corps solide est en mouvement autour d'un point fixe , les vitesses dont tous ses points sont animés à une époque quel-

DEUXliME PAETIB. — DYNAMIQUE. 1^1

conque pourraient être produites à ce moment par des forces instantanées , agissant sur le corps en repos dans cette position ^ et toutes ces forces, en vertu du point fixe, seraient réductibles à un couple. Ce couple est identique avec celui qui résulterait des quantités de mouvement qui animent les différents points du corps. Si l'on décompose l'un et l'autre de ces couples en trois autres dont les axes soient dirigés suivant trois droites rectangulaires fixes , les couples composants seront respectivement les mêmes.

Or, le principe des aires apprend que , lorsqu'il n'y a pas de forces extérieures, les sommes des moments des quantités de mouvement, par rapport à trois axes fixes, sont constantes, et donnent par conséquent un moment constant dont l'axe a une direction constante. Les forces instantanées qui produiraient à chaque instant sur le corps en repos, dans la position qu'il occupe à cet instant, les vitesses qui ont lieu, sont donc réductibles à un couple qui a toujours même axe et même moment. Cherchons à déterminer cet axe et ce moment.

Considérons pour cela les quantités de mouvement décomposées à un instant quelconque suivant les axes principaux, d'inertie sur lesquels se comptent les Xi^ )^i, Zi. Les moments des couples auxquels elles donnent naissance auront pour expressions

substituant les valeurs de u, ^. iv, données par les équations ( I ) , on trouvera

|2(riw— Ziu)dm = A/?, l(zi u — Xxw)dm •==■ B^,

Ces quantités ne sont pas constantes parce que les axri»>

in2 GOUKS DE MlSCANIQUE.

des JCiyi Zi ne sont pas fixes 5 mais la somme de leurs carrés est constante, puisque le moment résultant est constant : désignant la valeur de ce moment par k , on aura

Lorsque l'on connaît l'état initial du corps, c'est-à-dire sa position initiale, et les vitesses initiales ou les forces instantanées qui les ont produites , on connaît les valeurs initiales de A^, Bé/, Cr, et par suite de p, Çj r.

Si nous désignons par OK la direction de Taxe du couple résultant des quantités de mouvement^ on aura, pour déterminer cette direction par rapport aux axes mobiles ,

(6 ) ces KOX, = ^ » ces KO Y, = ?r^ 5 cos KOZ. = -/ »

et, par rapport aux axes fixes,

^« TCHY - Aa/7-4-B6y4-Cf/ -

cos ILUa = ; '>

(7) \ COS KOY = ' — 9

rî

cos KOZ = 7— ^ •

Les numérateurs de ces expressions seront constants, puisque la direction de OK est fixe.

Les formules (4) prouveraient, si on ne l'avait déjà démontré, que les cosinus des angles que l'axe instantané fait avec Xj, Yj, Zj sont respectivement de même signe que

En effet, les composantes de la rotation instantanée suivant les directions des axes principaux d'inertie du corps , sont les rotations que produiraient les couples composants Kp^ B^, Cr; elles sont donc de même signes que ces couples, et par conséquent que p^ q^ r.

DBVXliuV, PAUTIB. — DTNAHIQrE. 1^3

H2. jipplication du principe des forces vives. — On sai t que le principe des forces vives ne cesse pas d'avoir lieu lorsque des points d'un sysième sont liés à des points fixes ; et que les forces qui proviennent de ces derniers points n'entrent pour rien dans le résultat. Dans le cas actuel , où les forces extérieures sont nulles, la somme de ces forces vives sera constante. Désignons par h sa valeur ; ce sera une constante connue, si on donne l'état initial du corps; pour la calculer, remarquons que le carré de la vitesse du point qui a pour coordonnées 3ri,j-,, z„ est

— 2qry,z, — ïrpzyX, — zpgxij;.

. Multipliant par dm et intégrant dans tonte l'étendue de la masse, on aura la somme h des forces vives à un instant quelconque ; on trouvera ainsi

(8) Ap'-h. By'-HCr'^ A.

On voit que si aux deux équations (5), (8) ou joignait la condition que la vitesse angtilaire s/'p^ + ç' + r' fût constante, ou aurait entre p, y, r trois équations qui les détermineraient si A, B et C sont inégaux; et l'axe de rotation serait fixe. Dans ce cas , les équations { 3 ) exigent que deux des quantités p, ç, r soient nulles, puisque dp, dq, dr, L , M , N sont tous nuls. Le mouvement a donc lieu autour de l'un des axes principaux d'inertie , comme il était facile de le prévoir.

H3. Angle de l'axe inslantané et de l'axe du coup résultant. — Si l'on désigne par e l'angle de ces deux axe ou trouvera, d'après les valeurs des cosinus des angles qu'i forment avecX,, Yi, Z,,

A^+Bfy> + CH

JfJ^ COURS DE MÉCANIQUE.

OU

k COS 6 = ■;

Cette équation donne

tù COS t =r —>

et démontre cette propriété remarquable, que la vitesse angulaire instantanée donne une composante constante par rapport à l'axe du couple résultant , qui est celui du maximum des aires, ou du plan ini^aiiable,

114. Position de Vaxe instantané par rapport à Vellip^ soïde central. — L' équation de l'ellipsoïde caitral étant

les cosinus des angles que la normale au point quelconque

^iJKi ^i ^^^^ ^^^^ ^^® ^^^^ mobiles, sont proportionnels aux quantités A jTi, Bji, Czi.

Mais les cosinus qui se rapportent à Taxe du couple résultant sont proportionnels à Ap, B^, Cr. Ces deux droi-

tes se confondront donc si l'on a — = ~ = — ? c'est-à-dire

si le rayon de T ellipsoïde mené au point x^yi z^ se confond avec l'axe instantané de rotation •, d'où résulte cette proposition, qui se trouve, ,ainsi que la précédente, dans le Mémoire de M. Poinsot sur la rotation des corps :

Si Von mène à V ellipsoïde central un plan tangent parallèle au plan du couple résultant , le rayon mené au point de contact est l'axe instantané de rotation,

115. Vitesse angulaire en fonction du rayon de VelUpsoïde. — Les coordonnées du pôle de rotation sur l'ellipsoïde central, c'est-à-dire du point où cette surface est percée par l'axe instantané, étant proportionnelles àp, ^, r, on a les égalités suivantes , dans lesquelles R désigne la Ion-

DEUKIËIIK FAKTIB. DITIIIMIQIIE. 1^5

gueur du rayon de l'ellipsoïde, et P la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent :

V^Aj:;+ Br?+ Ça; v/A'jr; + B'j-? + C-i

Les trois derniers membres fournissent les équations suivantes :

atioi

On déduit de là plusieurs propositions importantes qui

sont dues à M. Poinsot.

L'équation w ^ R \/A fournit d'abord celle-ci : La vitesse angulaire est proportionnelle à la longueur

du rayon de l'ellipsoïde, autour diufuel a Heu la rotation

instantanée.

L'équation P = J^ prouve que la perpendiculaire abaissée du point fixe sur le plan qui toucbe l'ellipsoïde au pôle de rotation , est constante. Or, ce plan est d'ailleurs parallèle au plan fixe du couple résultant; donc il est constant de position. D'où se déduit cette autre proposîtiou :

L'ellipsoïde central ivste constamment tangent au plan mené parallèlement à celui du couple résultant , à une

distance égale à -7- Son point de contact est le pôle de

rotation, et, par conséquent, n'a aucun mouvement de glissement sur le plan fixe.

Cette propriété donne une représentation géométriqui très-nette de la marche suivie par le corps.

H6. Courbe des pôles. — D'après ce qui vient d'ètn dit, si l'on conçoit un plan qui se meuve en restant tan-

1^6 GOUES DE HÉCAHIQUE.

gent à l'eUipsoïde central et à une sphère concentrique

ayant pour rayon — ? le lieu de ces points de contact avec

l'ellipsoïde sera la courbe des pôles ^ elle sera symétrique par rapport à deux des plans principaux, et sera déterminée par rapport aux axes principaux du corps par les deux

équations

Aj:|-hBr; -h Czî = I,

d'où Ton tire la suivante :

(g) A(A»--AA)xî-hB(^' — BA)r; + C(^» — CA)z; = o,

équation d'un cône du second degré ayant ses axes princi-^ paux dans la même direction que ceux de l'ellipsoïde, et qui est le lieu des axes instantanés, relativement au corps. Pour reconnaître le sens de ses deux nappes , soient A le plus grand moment d'inertie, et C le plus petit. On trouvera facilement

I^«— AA = B (B — A) 7» -h C (C — A) r%.

Ainsi l'on aura

^*— AA<o et X^>— CA>o. .

On obtiendrait immédiatement ces deux inégalités en ob*

servant que — est le carré de la distance du centre au plan

tangent au point Xt^iZ^ de l'ellipsoïde^ d'où il résulte

Al A , JF>Â' T'<C

De sorte que les sections elliptiques du cône seront perpen-

DEUXIÈME PAKTIE. — DYNAMIQUE. inn

diculaires à Taxe des x si l'on a

et elles le seront à l'axe des z si l'on a

^»— BA<o.

Ces deux axes sont ceux du plus petit et du plus grand moment d'inertie du corps.

Si B = C, le cône est de révolution autour de l'axe des x ; si B = A j il l'est autour de Paxe des ^ -, si A = B = C, p, ^, r sont constants d'après les équations, et le mouvement s'effectue autour d'un axe fixe.

Si P est égal à une des trois quantités A/i, B/i, C/i, le cône se réduit à un plan; maïs si A, B, C ne sont pas tous trois égaux, on a nécessairement

A^—A/kC^o et ^»— CA>o;

donc c^est seulement k^ — B/i qui peut être nui, et dans ce cas le lieu des axes instantanés a pour équation

fl C(^^~C/i) C(B-~C) ^î ■" A ( A/« — A') ~ A ( A — B)'

C'est l'ensemble de deux plans passant par Taxe j'i qui est celui du moyen moment d'inertie; ils coupent l'ellipsoïde suivant deux ellipses qui sont le lieu des pôles, et, par conséquent, jouissent de la propriété que la distance du centre au plan langent à l'ellipsoïde en un point quelconque de ces ellipses est constante; cette distance est évidemment la longueur du demiraxe moyen de l'ellipsoïde.

Si k^ — B/i est positif, le cône entoure l'axe des a:, et l'équation (i6) donne

^[ ^ C (^'— Ch) C (B — C) ^ z]^ A {Ah — A-') ^ A ( A — B} '

It. 12

178 GOUBS DE MÉCANIQUE.

doue toutes les génératrices situées du côté des Zx positifs sont au-dessous des deux ellipses précédentes. Si , au contraire, k* — B/i est négatif, elles sont au-dessus. De sorte que ces deux ellipses partagent Tellipsoïde en quatre fuseaux tels, que quand l'axe instantané se trouve, à une époque quelconque, dans Tintérieur de l'un d'eux, il y reste toujours et se meut autour de Taxe principal situé dans ce même fuseau ] et s*il se trouve dans un des plans qui les séparent, il y reste constamment.

On remarquera que s'il y a deux axes presque égaux , Yun des fuseaux devient très-étroit, et la courbe des pôles, tout en ayant une grande étendue dans son fuseau , pourrait passer très-près de l'extrémité du petit ou du grand axe ^ il n'y a donc pas toujours stabilité pour l'axe instantané lorsque dans Tétat initial il est très-voisin de Taxe principal du plus petit ou du plus grand moment d'inertie -, mais , s'il n'y a pas deux axes presque égaux , et que l'axe instantané soit très-voisin du plus petit ou du plus grand , il s'en éloignera très-peu dans tout le cours du mouvement.

S'il est d'abord voisin de l'axe moyen, la courbe des pôles s'éloignera toujours considérablemnet de l'extrémité de cet axe, et la stabilité n'est plus démontrée. 11 faudrait pour cela que le pôle ne parcourût pas toute la courbe , et cela demande examen.

La courbe des pôles étant tracée et la vitesse initiale de rotation étant connue, ainsi que l'axe instantané autour duquel elle a lieu, on peut se représenter facilement le mouvement indéfini du corps. En effet, après un temps infiniment petit , on saura de quel angle le corps aura tourné 5 on saurait donc déterminer le point de la courbe des pôles qui devient le point de contact avec le plan fixe 5 on connaîtrait donc le rayon de l'ellipsoïde, et, par suite, la nouvelle valeur de la vitesse de rotation; on trouverait de