DEUXIEME PARTIE. — DTKAHIQUE. I^J

même la position et la vitesse après un autre intervalle de temps infiniment petit, et ainsi de suite indéfiniment.

Il est facile de voir comment on pourrait déterminer la courbe formée sur le plan fixe par les positions successives du pôle. Nous n'entrerons dans aucun détail à cet égard.

H7. Seconde représentation géométrique du moui^e'ment du corps^ — L'axe instantané de rotation décrit dans Fespace une surface conique qui a son centre au point fixe , et pour base la courbe tracée sur le plan fixe par le pôle. Admettons qu'elle soit connue : il est facile de voir qu'elle sera toujours tangente à la surface conique liée au corps et qui est le lieu des positions de l'axe instantané dans le corps. En effet, Taxe instantané sera à chaque instant sur ces deux surfaces*, elles ont donc toujours une génératrice commune. Au bout d'iux temps infiniment petit , une génératrice infiniment voisine, appartenant au cône mobile, vient coïncider avec une génératrice du cône fixe; et comme dans ce mouvement elle ne se déplace que d'infiniment petits du second ordre, il s'ensuit que si sur les deux cônes on prend, à partir de l'arête commune, deux arêtes correspondantes , distantes de la première de quantités infiniment petites du premier ordre , elles seront distantes l'une de Tautre de quantités du second ordre : d'où il résulte que les deux cônes sont tangents. D'ailleurs le cône mobile ne glisse pas sur l'autre, puisque l'arête de contact est l'axe instantané de rotation. Donc enfin le mouifement du corps peut être produit au moyen d'un cône du second degré lié iTwariablement au corps y et qui roule sur un autre cône dont la surface est engendrée par une droite qui tourne indéfiniment en ondulant autour de l'axe du couple résultant.

l8o COUBS DE MÉCANIQUE.

H8. Lien des positions successives de Taxe da couple résultant dans Vintérieur du corps. — Si Ton désigne parx,, ji, Zx les coordonnées d'un point quelconque de l'axe de ce couple par rapport aux axes mobiles, on aura les équations

zi"" Cr' Zi "~ C/ Les équations (12) et ( 1 5 ) conduisent à la suivante

Éliminant^» Centre ces trois équations, on aura l'équar r

tion de la surface cherchée , qui sera

C'est un cône du second degré dont les sections perpendiculaires à l'axe du plus petit , ou bien du plus grand moment d'inertie, sont des ellipses.

Si B = C , il est de révolution autour de l'axe des Xn Si A == B , il l'est autour de Taxe des z.

Si A = B = C , on a fc* = A A 5 les équations ( 20) et (21) sont identiques, et l'équation qu'on en avait tirée n'apprend plus rien 5 mais les deux précédentes deviennent

Zx r Zi r

ce qui montre que Taxe du couple résultant et l'axe instantané de rotation se confondent. C'est ce que l'on aurait déduit aussi de la formule qui donne l'angle de ces deux directions. C'est le cas où le mouvement a lieu autour d'un axe invariable.

DEUXIEME PAUTIE. — DYNAMIQUE. l8l

i 19. Formules disperses, — On peut oblenirdes relations utiles en identiflant les seconds membres des équations (4) avec les sommes des projections sur x^y^ z, des quantités u^ ^, w^ données par les équations ( 5 ) . En égalant de part et d'autre les coefficients de Xi , j^i, Zi , on obtient les neuf équations suivantes :

da , da' ,, , da" ,^ ^

-=hr-^cq, ^=br-dq, —=br-e'q,

-=aq-bp, -^a'q-b'p, —=.a"q-bp.

On tire encore de cesi équatious les trois suivantes :

pda -h qdb -4- rdc =r o, pda' 4- qdb' -h rdt/ = o , pda''-^- qdb"^ rdc"^ o.

Calcul du cas particulier où le corp& nesl sollicité poi*

aucune force extérieure.

lâO. S'il n'existe aucune force extérieure , on a L=o, M=o, N=o, et les équations ( lo) se réduisent à

A|=(B-C)?r,, (.9) {B^ = {C-A)rp,

C j^={A-Ii)pq.

Si l'on multiplie la première par p, la secoudc par y, la

l82 COURS DE MÉCAlflQUE.

troisième par r, et qu'on les ajoute, on obtient

dp ^ dq dr

d'où, en intégrant,

(20) A/?»-hB9»H-Cr»=/i,

h désignant une constante arbitraire , qui , diaprés ce qu(f nous avons trouvé précédemment , est la somme des forces vives du système.

On aura une autre intégrale en multipliant respectivement les équations (19) par Ap, 6^, Cr et les ajoutant. En effet, on trouve d'abord

.^ dp ^ dq ^ dr ' dt ' dt dt

d'où

(21) A'/?* -h B'^y'-f-Cr»— ^%

A: désignant une nouvelle constante arbitraire, qui est, comme nous l'avons vu, le moment du couple résultant des quantités de mouvement du système. Ces deux constantes hetkj ainsi que les valeurs initiales de p, ^, r, sont faciles à déduire des données initiales. En effet , la direction d^ Taxe du couple résultant et son moment sont connus, soit que l'on donne les forces instantanées qui produisent les vitesses initiales, soit qu'on donne ces vitesses mêmes. Ainsi d'abord k est connu ^ ses couples composants par rapport aux axes Xi, Y^, Z^, dont la position initiale est donnée, sont donc aussi connus; et comme leurs moments sont respectivement Ap^ B^, Cr, il en résulte que;?, ^, r sont connus en grandeur et en signe, au commencement du mouvement. Donc aussi, d'après l'équation (20), la constante h sera elle-même connue.

Si l'on tire des équations (20) et (21) les valeurs de