DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE. l

f} et q en r, et qu^on les reporte dans la troisième équation (19), on obtiendra une équation qui donnera t en fonction de /* au moyen d'une quadrature. On trouvera d'abord

Quant aux signes qu'on devra prendre pour p, q^ r, ils sont connus, dans l'état initial, d'après la position de l'axe du couple résultant relativement aux axes principaux, qui sont eux-mêmes connus à cet inslant. Les cosinus des angles que fait Taxe de ce couple avec les trois directions

étant "t- ' "77' "T ' *^* valeurs et les signes de /;, q^ r sont

connus à cette époque. Les équations (19) donnent les dérivées de p, ^, r en fonction de ces quantités •, elles conservent leur signe primitif tant que /?, q^ r conservent le leur 5 et, par suite, ces dernières quantités varient toujours dans le même sens tant qu'aucune d'elles ne devient nulle. Si , par exemple, p passe par zéro, la première des équations (19)

donnant la valeur de -j- k cet instant, apprend quel va être

le signe de p immédiatement après , et Ton raisonnera de même toutes les fois qu'une des trois quantités deviendra nulle 5 on n'aura donc jamais d'incertitude sur les signes de

Les valeurs de p, q données par les équations (22), étant reportées dans la troisième équation {19), donnent, en supposant^ pour fixer les idées, que l'on doive prendre le même signe pour p elqj

CsfÂBdr

(23) dt=i

V^A' — BA-+-C{B — C)/-^ v/A/* — A'^ 4- C (C — A) r

l84 COUnS DE MÉCANIQUE.

L'intégrale du second membre ne peut être obtenue géné^ ralement ; elle dépend des fonctions elliptiques. Elle devient intégrable si deux des trois quantités A , 6 , C sont ég^ales , ou si /c* est égal à une des trois suivantes AA^BA, CA,et nous avons vu que cène peut être qu'à la moyenne.

En supposant qu'on ait intégré l'équation ( 23 ) , on aura t en fonction de r, et la constante sera déterminée par la valeur initiale de r; on eu conclura r en fonction de t, ainsi que p et ^, d'après les équations (22).

Il ne reste donc plus , pour avoir la solution complète du problème , qu'à connaître les angles (p , , <j; au moyen de p, <7, r ; et nous avons pour cela les trois équations suivantes, qui se déduisent des formules du n° 228 , tome I*

icr

p ==. coscp-r- 4- smcpsmO -;^> '^ ^ dt ^ dt

(24) \ 7 ^^ — sm y— + coscpsm Ô-T^î

^ </\L dta

r= COSe-I-h-r^.

dt dt

On pourra encore faire usage des formules (i3) , dont une rentre dans les deux autres.

Mais, pour plus de simplicité, il conviendra de prendre Taxe du couple résultant pour un des axes de coordonnées, par exemple pour axe des z.

Les premiers membres des équations (i3) ne sont alors autre chose que a" ^ V\ c", et, d'après les valeurs de ces dernières en fonction de 9 , , v|/ ^ données dans les préliminaires, ces équations deviennent

(25) —?=: sinÔsin<p, -y^ = sin ô ces ^ , — =cosÔ.

Ces équations déterminent donc cos 6 et tangç en fonction de p, <7, r, et par suite de t. Ces lignes irigonométriques

uEUsiKHE PABriK. — dthanique. i85

étant connues à chaque instant, sans ambiguïté de signe, les angles eus-mémes , qui varient d'une manière continue, seront complètement déterminés. Il ue reste donc plus qu'à connaître l'angle i|<, et pour cela, on fera usage des

équations (M)- En éliminant — des deux premières, on obtient

j>sia<f + q cosf ^sms-ji.

^sinS di'

on tire de là

Si l'on remet maintenant pour dt sa valeur donnée par l'équation ( 23 ) , ou aura , saus ambiguïté de signes , d'après les discussions précédentes , la valeur de di^i en fonction de ret dr. L'angle <|' sera doue connu en fonction de ret par suite de t, par une intégration qui se réduit aux fonctions elliptiques, et pourra être ellectuéc esaciemenl dans les mêmes cas que celle qui se rapporte à dt, La constante déterminera par les valeurs initiales de ^ et r.

Cas particulier où A = B,

i21 . Dans ce cas , les équations (19) se réduisent à

l86 GOOaS DE MÉCANIQUE.

n étant une constante déterminée par l'état initial , et

/ N dp k—Q

(6) ^S = 9j:Z±np,

dt A

d'où Ton lire

dp dq

li'^'^dF

et, par suite.

m' étant une constante arbitraire.

On voit donc que la vitesse angulaire sera constante, quoique p et <jr ne le soient pas ; elle aura pour valeur

Les équations (âo), (21 ) auraient donné les mêmes résultats. Pour avoir p en fonction de f, on éliminera (/ entre les équations (a), (6), en difTérentiant la première et y

remettant pour -^ sa valeur tirée de la seconde. On trouve ainsi, en posant — r — = jm,

■^ H- i»,'n'pz=Oy

d'où

/? = M sin (f* /!/ + g ) ,

M et € étant des constantes arbitraires 5 on aura , par suite,

l dp

^ = — -7- = M ces (ant H- e ;; lin ai ^*^ ' /'

DEUXIÈHE fABTIB. UTKAMIQUE. 187

el comme p* -t- ç' = m* , on aura

Eu considérant donc comme susceptible d'un signe quelconque la constante arbitraire m, on aura pourp, q les valeurs suivantes :

(ï) ^ =msin {(»«/-+- 1), y =;/wcos((»«-f-«);

pour déterminer les constantes m, e, soient pi,, <j„ les valeurs initiales de ;7 et f, nous aurons

L'angle e sera déterminé quand on aura choisi le signe de m, puisque l'on connaîtra sou sinus et son cosinus. Le changement de signe de m ferait seulement varier e de 180 d^rés ; ainsi on sera libre de prendre pour m le signe que l'on voudra', nous choisirons, par exemple,

'»= + v'/^r+îj-

Cherchons maintenant les angles f, <{<, 6.

Les équations (aS) donnent

cos e = -7-, tang Y = - = tang {(*nr + t).

Deux arcs qui ont même Ungente ne peuvent différer que parun DOmbre entier de demi-circonférences. Doue f ftnZ -h e ne difierent que d'un multiple de ir qu'on peut ch sir arbiu-airement. Introduisant de préférence la vali initiale f g de f , on aura évidenuncat T ^ f 1 -t- fi «'■ L'équaiion (a6) devient

l88 COURS DE MÉCANi'QtJE.

et donne

(po étant la valeur initiale connue de ^.

La valeur constante de cos 6 nous apprend que Taxe de révolution de l'ellipsoïde central décrit un cône de révolution autour de l'axe fixe du couple résultant^ et que, par conséquent , le plan de Féquateur conserve une inclinaison constante sur celui du couple résultant.

La valeur de ^ montre que la trace de l'équateur de cet ellipsoïde sur le plan fixe du couple résultant se meut uniformément, et que par conséquent l'axe de révolution décrit aussi uniformément sa surface conique. La valeur de (f prouve qu'un rayon déterminé quelconque de l'équateur se meut uniformément par rapport à la trace variable de l'équateur sur le plan du couple résultant. Mais la vitesse angulaire de ce mouvement, qui est /xn, ne doitpas être confondue avec la vitesse angulaire du corps,

qui est y//n* -h n*.

Enfin l'axe instantané fait avec l'axe des z^ un angle

constant , puisque son cosinus est ^ -, il trace donc

un cercle sur T ellipsoïde de révolution.

On remarquera, de plus, que Vaxe instantané j l'axe de résolution et l'axe du couple résultant sont constamment dans un même plan. Il suffit de prouver pour cela que les cosinus des angles que l'axe instantané et l'axe du couple résultant font avec les axes des Xt et yiy sont proportionnels*, car alors ils seront dans un plan passant par l'axe des -^i, qui est l'axe de figure.

Or le rapport des deux premiers cosinus est -; le rapport

DEUXltHK PARTIK. — DTnAHIQn. 189

des deux autres est t;,) et, d'après les équations (aS), il

Cas particulier oii A" =: BA.

1^. Nous avons tu que, dans ce cas, le lieu des axes ÎDstantanés ne pouvait être que l'une des deux ellipses dont tes plans sont représentés par l'équation

tirant des équations (20), (ai ) les valeurs de p et r en fonction de q, on trouve

, (C-B)(A--B'.?') ^ (B-A)(^'-P'g') ^ — BA{C— A) ' ~ BC(C — A) '

équations qui montrent que l'on aura toujours

P-B'q'>o, ou r<j,;

on en conclura

T, ^ • t /( G-b)(b-a") dq dt~' bV AC [A'— bv)'

d'où, eu supposant rfç positif,

B^ÂC dq

y'(C— B)(B~A)*'— B1</= En posant

k__ a^^(C — B)(B— A) B ~ "'' B \/ÂC ~ ''

igO COU ES DE MÉCAHIQUK.

on trouve, en désignant par a une constante arbitraire

, m -^ q fxr=l. -T "i

* a(/if — q)

d'où l'on tire

qr^m

ae'^ — I ae^ -h I

Si l^on désigne par ^o I^ valeur initiale de q^ on aura

iw(a-- i) iw -4-ç.

o^ r= — 1 -y doù a = ^»

et, par suite,

{m -f- ^,)tf /*'-!- q^ — m q z=z m • =-i .

Au moyen de cette valeur de ^ , on connaîtra ;» et r en fonction de t.

Les équations (aS) feront donc connaître 9 et f au moyeix de t. L'équation (26) donnera, en remettant pour r sp valeur en fonction de q^

ce qui s'intégrera sans peine en substituant la valeur de q en té A mesure que t croît indéfiniment, ^ tend vers la li-

mite m ou -5 et par conséquent p et r vers zéro. L'axe instantané de rotation tend donc alors vers le prolongement de l'axe moyen de l'ellipsoïde , sur lequel sont comptés les y^ positifs. On a donc ici, comme l'a annoncé M. Poinsot^ le cas remarquable , où l'axe instantané étant pris d'abord très-près de l'axe du moment moyen, ne s'en écarterait jamais que très-peu, et même s'en rapprocherait indéfiniment.