DEUXIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE. I9I

Mab il faut faire une observaiion importante. La valeur

limite de ^ est + ~ lorsque le signe de dq est positif comme

nous Tavons supposé \ cela exigeait que p et r eussent des valeurs initiales de même signe , et alors ces signes se conservaient parce que p onrue peuvent devenir nuls que si q^ devient égal à m*, ce qui n'arrivera que pour f = oo . Si , an contraire ^petr avaient été donnés de signes contraires dans l'état initial, on aurait pris pour la valeur de dq le signe contraire à celui qu'on a pris , ce qui revient à changer |!x en — fx dans le résultat. On trouverait alors — m pour limite de ^^ de sorte que Taxe instantané tendra vers lun ou Fautre des deux sens opposés de l'axe moyen de rdlipsoïde, suivant que je? et r seront donnés dé mêmes signes ou désignes contraires dans la position initiale, ou, en d'autres termes, suivant que Taxe instantané , dans sa position initiale, fera, avec les axes des Xi et des z^ positifs, des angles à la fois aigus ou obtus, ou bien l'un aigu et l'autre obtus.

Du double mouvement d'un corps solide libre.

123. Lorsqu'un corps solide se meut dans l'espace, en vertu d'impulsions piimitives et de forces continues quelconques, on peut considérer son mouvement, pendant chaque intervalle de temps infiniment petit, comme composé d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation.

Pour cela, on prendra l'un quelconque des poiuts de ce corps, et à chaque instant on donnera au système un mou* vement, par lequel chaque point décrira une droite infiniment petite, égale et parallèle à celle que doit décrire, pendant cet intervalle de temps , le point particulier que l'on considère; puis on supposera ce point immobile, et

ig2 COURS DE MfiCAKIQUE.

l'on fera tourner le corps , jusqu'à ce que chaque point ait pris la position qu'il devait occuper à la On de ce même intervalle.

Le point dont le mouvement règle à chaque instant le mouvement de translation du système, peut être pris arbitrairement, pourvu qu'il y soit lié invariablement 5 mais il y a beaucoup d'avantage, comme nous allons le voir, à choisir le centre de gravité du corps.

En effet, nous avons démontré que ce point se meut de la même manière que si toute la masse du corps s'y trouvait réunie et que toutes les forces qui agissent y fussent appliquées. On connaîtra donc immédiatement la direction et la grandeur de la vitesse initiale qu'il prendra en vertu des impulsions données.

Pour achever de connaître le mouvement initial, concevons toutes les forces données réduites à une force appliquée au centre de gravité et un couple. Nous pourrons., conmie nous l'avons démontré n** 4i, déterminer les deux mouvements qui auraient lieu séparément par l'action de cette force , puis du couple ; en composant ces deux mouvements pour chaque point, on aura le mouvement résultant de l'action simultanée de toutes les forces.

Or la force résultante appliquée au centre de gravité peut être décomposée en forces égales appliquées à tous les éléments égaux de la masse du corps , et , par conséquent , elle donne une vitesse égale et parallèle à tous les points; il en résulte donc un mouvement commun de translation.

Quant au couple , il ne peut produire aucun déplacement du centre de gravité, puisque ses deux forces transportées à ce point se détruisent : le mouvement qu'il produit ne sera donc pas altéré en fixant invariablement le centre de gravité. Mais alors on peut introduire la force résultante, qui sera détruite par le point fixe, et l'on aura ainsi le système de toutes les forces données. D'où Ton voit que le mou-

DF.UXlÎMlL PARTIE. — DYNAMIQUE. it)3

Vement de rotation que nous considérons , peut être regardé comme produit par les forces d'impulsion , agissant en leurs points d'application respectifs sur le corps dont nous aurons fixé le centre de gravité.

■ Nous pouvons donc énoncer celle première proposition :

Les vitesses que prennent instantanément les différents points iVun corps solide libre, peui^ent être considérées comme les résultantes de celles qui se rapporteraient à deux mouuiements distincts : Vïm de translation, produit par les forces dUmpulsion transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité; Vautre de rotation, pir>duit par le système même des forces données agissant sur le corps dont le centre de gravait é aurait été invariable m^hi fixé.

Au moyen db cette proposition, le mouvement initial du corps est entièrement connu, puisque l'on sait déterminer celui d'un corps autour d'un point fixe. Quant à ce qu'il deviendra par la suite, nous savons que le centre de gravité se mouvra de la même manière que si toute la masse y était réunie, et que toutes les forces continues y fussent transportées, sans changer de grandeur et de direction. Mais ces forces ^ dépendant , en général , de la position des points, se trouvent, par cela même, dépendantes du mouvement de rotation; de sorte que Ton ne peut calculer séparément le mouvement du centre de gravité du corps, excepté dans le cas particulier où les forces auraient des directions et des «intensités constantes, comme par exemple dans le cas de la pesanteur.

Au reste, on peut toujours établir la même proposition relativement aux forces continues, que relativement aux forces instantanées. En effet, considérons le corps à un instant quelconque ; on peut supposer qu'il part du repos et qu'il est sollicité, d'un coté, par des forces instantanées qui donneraient à chaque point la vitesse qu'il a 5 d'un autre II. i3

igi cooBS 0K wkcjimijot,

côte, par les forces continues qui ne peuvent produire que des vitesses infiniment petites dans un intervalle de temp» infiniment petit, et que Ton peut regarder comme des forces instantanées agissant au commencement de chaque intervalle de temps infiniment petit. Or, d'après le principe que nous avons rappelé , on peut déterminer séparément les vitesses produites par ces deux systèmes, et les ccHnposer ensuite. Le premier produira Tefiet qui avait réellement lieu à l'instant considéré; le second est identique avec celui que nous avons discuté d'abord, et , par conséquent , il produira une vitesse de translation infiniment petite, due à toutes les forces continues transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité, et un mouvement de rotation autour du centre de gravité rendu fixe, produit par toutes ces forces dans leur véritable position.

Ainsi donc, si Ton conçoit par le centre de grauùé du corps trois axes rectangulaires qui se meuvent parallèle^ ment à eux-mêmes, leur point de rencontre se momfra cofnnie si toute la niasse du corps y était réunie, et quB tontes les forces instantanées ou continues j fussent ap^ pliquées^ et le mou\fement du corps, par rapport à ces axeSj sera le mênie que si leur point de rencontre était in^ i^ariablement fixé et que toutes les forces qui sollicitent les différents points dans le moui^ement réel fussent ap^ pliquées de la même manière à ces mêmes points.

I24r Application à Vellipsoïde pesant, — Supposons qu'un ellipsoïde homogène reçoive une impulsion dont la direction soit comprise dans le plan de deux de ses axes principaux relatifs à son centre de gravité, et soit ensuite abandonné à Faction de la pesanteur. Désignons par fxi^ la quantité de mouvement qui mesure la force instantanée , par/ la distance de cette force au centre , par b eic les deus demi-axes qui sont dans le plan de la force , et par a le troi-

DEtoXlElilE PARTtE. — DYtf AMIQtJK . igS

sième; enfin par M la masse de l'ellipsoïde, et par V la vitesse initiale de son centre de gravité.

Le centre de gravité, qui est le centre de Tellipsoïde, devant se mouvoir comme si la masse M y était concentrée, et fût sollicitée au premier instant par la force fn*, puis par son poids ) ce point prendra d'abord, dans une direction parallèle à celle de Fimpulsion ^ une vitesse dont la valeur sera

et il décrira une parabole tangente a cette direction initiale, et dont Féquation se calculera comme dans le cas d'un point libre. Pour connaître son mouvement par rapport à trois axes passant par son centre et parallèles à des directions fixes , il faut supposer que le centre soit fixe et que la force d'impulsion ainsi que la pesanteur agissent sur Tellipsoïde ainsi assujetti. Mais on peut faire abstraction de la pesanteur, puisque le centre de gravité est fixe, et il suffit de déterminer la rotation produite par l'impulsion. Cette force étant située dans un plan perpendiculaire à une droite, qui est un axe principal relativement au poî)it où elle est coupée par ce plan , et de plus ce point étant fixe, il s'ensuit que le mouvement aura lieu indéfiniment autour de cet axe. La vitesse angulaire ot) s'obtiendra en divisant le moment pi^ de la force par le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe fixe ; on aura donc

ou, en introduisant la vitesse initiale V du centre de gravité ,

Ig6 COltRS DE MÉCANIQOC.

On voit donc que l'axe de rotation se transporte parallèle'-* ment à lui-même, et que le corps tourne uniformément autour de cette droite , que l'on pourra déterminer à chaque instant, puisqu^on connaît le mouvement du centre de gra:vité qui en est le milieu. On déterminera donc facilement )a position de fous les points de ^ellipsoïde à un i'nstanl quelconque.

Dans le cas où il serait réduit à une sphère pleine oti creuse, homogène ou seulement formée de couches homogènes , tout diamètre serait un axe principal ; le mouvement de rotation aurait Geu autour de celui qui serait perpendiculaire au plan mené paF le centre et la direction de la force d'impulsion , et la direction de cet axe serait constamment parallèle à elle-même.

Le mouvement de rotation de cette sphère ne serait pas altéré si tous les points étaient attirés vers d^autres poijats par des forces proportionnelles aux masses et à une fonction de la distance, parce que la résultante des actions exercées par un point quelconque sur la masse entière de la sphère passerait pav son centre de gravité. Mais si le coTfi^ était tant soit peu différent d'une sphère, il n'en serait plus ains^i, et c'est ce qui arrive par exemple dans le cas de la terre. .