POINTS

125. Lorsqu'un système de points est en équilibre, et qu'on le déplace infiniment peu, d'une manière quelcon^ que, en l'abandonnant ensuite à l'action des mêmes forces, il arrive de deux choses l'une : ou les déplacements successifs de chaque point par rapport à sa position d'équilibre

DCnXIEMK PARTIE. — DTNAISIQUE. • ig^

restent toujours très-petits; gu ils peuvent acquérir, an. bout d'un certain temps, des valeurs finies. On dit, dans le premier cas , que l'équilibre est stable ; et , dans le second , qu'il est iusta})le.

Cela posé, considérons l'équilibre d'un système de points assujettis à <les liaisons quelconques indépendantes du temps , et telles que 2 (Xdr -f- Yefy -î- Zrfz) soit la diffé^ rentielle exacte d'une fonction y (^^yt ^? x',...).

Nous savons que, dans la position d'équilibre, cette fonction «era, en général, maximum ou minimum relativement à toutes les variables indépendantes. Or nous allions démontrer que , quand elle est maximum , l'équilibre est stable.

Supposons , en effet , un système de points en équilibre , sous l'action de forces X, Y, Z, X',..., telles, que l'expiéessien

soit la diilérentielle totale d'une .certainiC fonction ç (x\ y, s, .i ',...) en considérant les variables x, /, 5, a:',. .. comme indépcfndantes. En vertu du principe des vitesses virtuelles , la différentielle de la fonction <p sera nulle pour lous les déplacements infiniment petits du système, qui satisferont aux liaisons auxquelles il est assujetti. Supposons qu'alors cette fonction (f soit un maximum relativement à toute» les valeurs qu'elle prend dans ces divers déplacements. Désignons par a, i, c, a\.,. les valeurs de x^^y^ z , x',..., dans la position d'équilibre •, déplaçons chacun des points de quantités extrêmement petites, et comrauîiiquonsleur des vitesses très^-peiites ; il s'agit de démontrer que le dérangeaient du système restera toujours très-petit , et que, par conséquent, l'équilibre sera stable.

En effet, posons

^=:«-f-A, jr=r^-h^, Z:=zc-h(y jc' = «' -f- A', ÇtC^

ig8 COUHS DE MECANIQUE.

et désignons par i^o^ i^'»v les. vitesses très-petites que Tons communiquées aux différents points; Téquation des forces vives deviendra

^•9 ^0 9 ^0 V*- représentant les déplacements primitifs très-* petits, estimés parallèlement aux axes.

Or, puisque la fonction f (x, /, 2, x',...) est maximum, lorsque x, jr^ is,... ont les valeurs a, 6, c,..., les termes du premier degré en A, A, /,... disparaissent dans le déve-t loppemem de y (a -♦- A, i -h t, c -f- /9-.-); et les termes du second ordre , changés de signe , peuvent se mettre soii3 la forme d^une somme de carrés de quantités dont chaque terme renferme, au premier degré, Fupe des quantités h, A, ^)-**) et qui sont en nombre égal à celui des variables indépendantes. Si Toii désigne ces diverses quantités par 5, 5', 5",..., et par R Tensemble des tem^ea de degrés supéi rieurs au second , on aura

et, de même,

L^équation (i) devient donc

— |2wJ = — (x'

...)-hR — Ro;

ou, en représentant par c la quantité très-petite

^2mpj4-5;-|-5'/+5V+ ...

BEUXlim PA1&T1Z. — DYNAMIQUE. 1^

Les quantités A, Ar, /, A^,... ne sont pas toutes indépendantes , et Ton pourrait en éliminer un certain nombre au moyen des équations qui expriment les liaisons du système. Celles qui resteraient entreraient au premier degré dans les divers termes des quantités 5, 5', 5''',... dont le nombre est le même que celui de ces variables indépendantes. Il suit de là que si ces dernières ont des valeurs très-petites, il en sera de même de 5, 5', s'\,,.^ et réciproquement. Il suffit donc de démontrer que 5, 5', 5^,. . resteront constaminent très-petites pour quMI en résulte que les déplacements des points du système restent eux-mêmes ti>ès-petits , et que , par conséquent, l'équilibre est stable.

Or, le premier membre de Téquation (2) étant essentiellement positif, il en sera constamment de même du second ^ et il est facile d'en conclure que cbacune des quantités ^',.5",... restera toujours inférieure à c. En effet, diaprés la valeur de e, cbacune des quantités 5*, 5",... est d'abord moindre que c 5 elles varient ensuite d'une manière continue. Supposons qu'il puisse arriver alors que Tune d'elles, par exemple 5*, devienne égale à c*, et ce sera la plus grande de toutes; elle sera encore très-petite, et il en sera de même, à plus forte raison, de toutes les autres. Donc /i, A, /,... seront aussi très-petits, et la quaulité R sera incomparablement moindre que chacune des quantités 5*, 5",.... Donc l'hypothèse s^ = c conduirait à ce résultat absurde, que le second membre de l'équation (2) serait négatif. Les quantités 5, 5', 5",... restant donc toujours inférieures à \/c, et, par conséquent, très-petites, il en sera de même des déplacements A , /r , /,..., et V équilibre sera stable.

Lorsque la fonction (f [x^ y^ z, a:',.-) est un minimum, on ne peut faire des raisonnements analogues pour démontrer l'instabilité de l'équilibre, et il faut examiner spécialement chaque cas particulier.

200 COCftS DE XCCASflQUI^.