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correspondante aux forces mouvantes. Soient de même Q l'une quelconque des forces résistantes, et dq le déplacement de son point d'application estimé dans le sens de celte force et abstraction faite de tout signe ^ la partie correspondante aux forces résistantes sera — XQdq^ et Téquation (i) pourra se mettre sous la forme

127. Toute force peut être remplacée par un poids suspendu par un fil dont une extrémité sera fixée au point d'application de la force, et dont la direction, à partir de ce point, coïncidera ayec celle de cette force, par le moyen d'une poulie de renvoi. Si l'on fait cette substitution à la force P, lorsque la machine se déplacera infiniment peu , le poids égal à P descendra de la qi^antité dp qui désigne la projection du déplacement de Textrémîté du fil sur la direction de ce fil. Si l'on agit de même pour une quelconque des forces Q, dq exprimera la quantité dont s'élèvera le poids égal à Q pendant que le poids P s'est abaissé de dp.

Ainsi , en supposant d'abord toutes les forces constantes, l'équation (2) exprime que Taccroissement de la demi-somme des forces vives du système entre deux époques quelconques est égale à la somme des produits des premiers poids par les hauteurs respectives dont ils se sont abaissés, moins la §omme des produits des seconds poids par les hauteurs dont ils se sont éleyés.

Nous désignerons, avec M. Coriolis, par quantité de trauaU le produit d'un poids par la ïiauteur dont il a été élevé ou abaissé, et, généralement, le produit d'une force quelconque par la projection du déplacement de son point d'application sur la direction de cette force. Si la force varie d'intensité, on décompose le mouvement en parties infiniment petites; les quantités de travail élémentaires

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qui leur correspondent dépendent de la loi que suit la variation de la force, et Tintégrale qui en exprime la somme est la quantité de travail relative aii déplacement du point d'application de cette force.

Si l'on désigne par travail moteur celui qui se rapporte aux forces mouvantes , et par travail résistant celui qui se rapporte aux forces résistantes , Téquation (2) exprinie que, quand le système passe d'une position à une autre, l'accroissement de la demi-somme des forces vives est égal a { l'excès du travail moteur sur le travail résistant.

i28. Si Ton considère la machine à partir de Tinstani où elle était en repos, on a l'o = o, et l'équation (2) (}cvient

le second membre est donc toujours positif, et , par conséquent, le travail moteur surpasse toujours le travail résistant. Ils seront égaux lorsque la machine reviendra au repos. Si le mouvement de la machine devient uniforme, ce qui est ordinairement le plus avantageux , et qu'on ne le considère qu'après que Tuniformité est établie, le premier membre de l'équation (2) est nul, et, par conséquent, le second Test aussi : d'où l'on conclut que, dans un intervalle de temps quelconque, le travail moteur est égal au travail résistant. Mais, comme ce dernier se compose du travail que l'on avait en vue de produire et qu'on nomme le travail utile, plus le travail correspondant aux frottements, aux résistances des milieux, à la communication du mouvement aux ^orps environnants, etc., il^n résulte que dans toute machine on est obligé de dépenser plus de travail que Ton n'en produit. La meilleure n'est que celle où Ton en perd le moins, et l'avantage des machines en mouvement n'est que de transformer le travail , mais non de l'augmenter.

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Lorsque les vitesses sont devenues constantes , il doit y avoir équilibre entre toutes les forces, et, en effet, Téquation

donne, en la différentiant,

équation qui sera satisfaite si le système, quel qu'il soit, est en équilibre ] et qui en est la condition suffisante , s^il est à liaison complète.

429. Lorsqu^on veut évaluer le travail correspondant au frottement d'un corps en mouvement , et que le contact n'a pas lieu en un point constant de ce corps , il ne faut pas regarder la force de frottement comme appliquée au point où le contact s'opère, et prendre la distance de deux points de contact consécutifs comme Tespace parcouru par le point d'application de la force. Il faut, pour faire usage du principe des forces vives , que les forces soient appliquées aux mêmes points matériels pendant ce temps très-court relatif aux déplacements rfr, dy^ dz. Or, la force de frottement étant tangente au corps, peut être considérée comme appliquée au même point de ce corps , pendant un temps trèscourt, en négligeant une distance infiniment petite du second ordre. On devra donc prendre, dans l'évaluation du travail élémentaire dû à un frottement, le produit de la force de frottement par la projection du déplacement, dans l'espace, du point du corps qui était au contact à Tinstant que l'on considère.

130. S'il y a des chocs entre certaines parties de la machine, que nous supposerons que Ton puisse regarder comme sensiblement dénuées d'élasticité, il y aura instanta- ^léinent une perte de force vive, représentée par la somme

2o4 r.OURS DE MKCA^'IQUe.

des forces vives dues aux vitesses perdues par tous les points du système ; Si. l'on représente par ii cette vitesse pour la masse quelconque m , les intégrales du second membre de réquâtion (2) n'ayant pas varié sensiblement pendant la durée du choc , on aura , en désignant par v la vitesse de la masse ni après le «choc,

^e sorte que , pour maintenir les vitesses >» à des valeurs déterminées, on sera obligé de dépenser une quantité de tra-» vail plus grande de ~T,mu^ : il est donc utile d'éviter les chocs autant que possible.

131. Lorsque le n^ouvement de la machine n^est pas uniforme, il faut du moins qu'il soit périodique. Dans ce pas, si les intégrales qui entrent dans l'équation (2) se rapportent à un nombre entier de périodes , on a (^ == Vo 9 et 9 par conséquent , le travail moteur est ^al au travail résistant, comme si le mouvement était uniforme; et, récipro^ quement, si ces deux quantités de travail sont les mêmes dans rintervalle qui s'écoule entre deux positions identi*ques quelconques du système, les vitesses redeviennent les mêmes après cet intervalle, et le mouvement est périodique. ]V|ais îl ne suflit pas d'obtenir une même quantité de travail, il est pi*esque toujours très-»important que ce travail soit produit uniformément. II est presque impossible de parvenir à une uniformité rigoureuse, mais on peut rendre A peu près insensibles Ips changemi*nts de vitesse pendant le cours d'une période. Le moyen qu'on emploie le plus ordinairement consiste à introduire dans le système une masse assez considérable, à laquelle on donne le nom de 'volant y et dont l'effet est de diminuer les variations de vitesse correspondantes aux variations de la différence entre le travail moteur et le travail résistant. Pour que le volant

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cbarge moins les supports, il est utile qu^il ait la moindre masse possible , et pour cela on lui donne la forme d'une roue dont la masse est presque tout entière à la circ6iifi<^ rence. Si l'on désigne par o) sa vitesse angulaire, la somme des forces vives de ses points* pourra être représentée par fjLO)', ix étant une constante dont il sera facile de déterminer la valeur, de quelque manière que soit répartie la masse du volant. Soit Hmv^ la somme des forces vives de toutes les autres parties de la machine, et désignons par o)' et i^' les valeurs de co et (^ à une même époque ; Téquation (2) pourra se mettre sôus la forme

Prenons pour les deux limites des époques telles qu'il y ait le plus de différence possible entre f IIP rip et f HQd/j -^ il est facile de voir que ce sont celles où les forces seraient en équilibre sur la machine : car, à ces deux époques ^ les éléments de l'intégrale qui forme le second membre changent de signe. Il en résulte que ces époques sont aussi celles du maximum et du minimum des vitesses. Or, pltLS fx sera grand , moins il faudra que (ù et o)' soient différents pour que le premier membre deviennXî égal au second, et l'on peut, dans chaque cas, déterminer le volant de manière que les changements de vitesse soient compris dans des limites suffisamment petites.