PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION

132. Ce principe n'a Heu que dans les systèmes pour lesquels l'équation des forces vives subsiste. Il consiste en ce que si , pour chaque point du système , on intègre entre deux époques arbitraires le produit de sa quantité de mouvement

!lo6 COURS DE MÉCANIQUE.

par l*élétnent de la courbe qu'il décrit, la somme de toutes ces intégrales est un minimum; c'est-à-dire qu'elle est moindre que si, par de nouvelles liaisons , on assi^ettissait ces points à suivre de nouvelles courbes, entre les deux mêmes positions extrêmes qae Ton considère, et sous l'influence des mêmes forces.

Ppur le démontrer, il faut faire voir que la variation de cette somme est nulle quand on fait varier infiniment peu les points de ces courbes en leur laissant les mêmes extrémités; car il est évident, par la nature de cette somme, qu'en général elle ne peut avoir une valeur maximum, et que, par conséquent, en exceptant des cas très-particuliers , elle aura une valeur minimum.

Or on a

iJZmvds r=zflmo{uds)=flm [Sv.ds -h uSds).

Pour calculer la première partie, remplaçons fis par i^dt^ dt se rapportant au mouvement qui a réellement lieu; nous auroAs

9ç.dsz== vêvdt=z\dtS.9^f et , par suite ,

lmS(f.ds=:jdilmB.ç\

Mais on a , en désignant par C une quantité constante,

j2i»f»»= ^(jc,7,z, a/,. . .)-j-C,

et la forme du second membre sera la même pour tous les mouvements que Ton considère, puisque les forces restent les mêmes. Si donc on prend la variation des deux membres, on aura

fix €iy

et, d'après Téquation générale du mouvement, cette der-

AEUXliME PARTIE. — DTVAHIQUB. HO']

nière expression est égale à

On aura donc

\ dt^ dt^ -^ dr )

(il^x d* Y d^z \

Poar calculer la seconde partie, nous observerons que

l'équation

ds^ = dx* -f- dx^ -+- dz^ donne '

^ , </r - , dy ^ , dz ^ , Sds=:~Sdx^ -fSdy-i' -r^dz.

ds ds ds

et, par suite,

Donc

« > dx ,^ dy . ^ dz ,^

udds^-rdSx'h-T'dêr-h — d$z.

dt ' dt -^ dt

lmç$ds=zJ.m ( -77 df^a: H- -^ c/^j-h y ^^z) ;

\ dt dl

et, en réunissant les deux parties de la variation de ^m^ds, il vient

âlFnvdsz=: Imd (---Sx -+■ -il ^ r -f- t^^V

\di dt -^ dt )

Si maintenant on intègre les deux membres, on aura

(gjv* dv fiz \

mais, aux deux limites de l'intégrale, les variations âx, dy^ dz sont nulles, puisque les extrémités des courbes décrites restent les mêmes ; donc le second membre est nul , et

Ton a

Sflmvds = o,

comme il fallait le démontrer.

2o8 rx»rfts UE MhCAniQCf..

D^où l'on conclut que 1* intégrale

J'^m vils.^ ou JZmv^dt

est nn minimnm dans le mouvement du système.

133. Si les points ne sont soumis k l'action d'aucune force, on a

k étant constant.

Uonc

/2inp'£/r=X7-hC,= i{i — /,),

i et ti étant les valeurs du temps aux deux limites ; et, conlmè rintégrale est un minimum , il sVnsuit qu'il en est de même de t — f j , et que , par conséquent , le système passe d'une position à une autre dans moins de temps que si Ton introduisait de nouvelles liaisons quelconques.

Si Ton considère un point matériel assujetti à rester sur une surface fixe, sans être soumis à l'action d'aucune force, sa vitesse est constante; et le temps qu'il met à passer d'un point à un autre étant minimum , il s'ensuit que la longueur de la ligne parcourue est aussi minimum, comme nous Tavons déjà démontré d'une autre manière.