DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE
tion ( 2 ) peut se mettre sous la forme
(5) dp =: p d ^.
Le premier membre de cette équation est la différentielle d une fonction des variables indépendantes x ^ y^ z -^ il en est de même de ^^ : donc, pour que le second membre soit identique au premier, il est nécessaire que p soit une fonction de (p5 mais cette fonction peut avoir une forme quelconque.
Ainsi la densité sera constante en même temps que (f , c'est-à-dire pour tous les points d'une môme surface de niveau; et ces surfaces partagent le fluide en coucbes où la pression et la densité ne varient pas.
140. Dans le cas des fluides compressibles, la densité dépend de la pression. Soit alors p =/(p) , Téquation (5) devient
La constante se déterminera par la valeur donnée de la pression en un point connu-, on pourra tirer de là p, et, par suite, p en fonction de <p , et l'on connaîtra la densité et la pression relatives à une surface quelconque de niveau.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'un gaz -, on aura^ d'après la loi de Mariotte,
k étant dépendant de la température , que nous regarderons d'abord comme constante. L'équation (5) donnera
2l8 COURS DE MÉCANIQUE. .
d'où
C étant une constante que Ton déterminera par la valeur de p correspondante à une valeur connue de y. La dernière équation peut se mettre sous la forme
et l'on aura, par suite,
Si la température n'est pas constante, k sera variable, et lorsque l'équilibre sera établi , Téquation (6) apprend que A ne pourra être qu'une fonction de q), et que, par conséquent, la température sera constante pour tous les points d'une même surface de niveau. La pression et la densité seront déterminées par les formules
En considérant la terre comme sphérique, et en faisant abstraction de son mouvement de rotation , la force appliquée aux molécules de l'air est dirigée vers le centre, et, par conséquent, les surfaces de niveau seront des sphères concentriques avec la terre. L'équilibre de l'atmosphère exigerait donc que la température fûfpartout la même à égale distance de la surface de la terre , ce qui ne saurait être à cause de la présence du soleil -, d'où il suit que cet équilibre ne saurait avoir lieu.
141. Au lieu de considérer un liquide en équilibre, à l'état de repos , ou animé d'une vitesse commune à tous ses
DenXlixB PABTIB. — HTIHlOSTATIQtlE. 3)g
points, on pourrait supposer qu'il tourne uniformément autour d'un ase fixe, et chercher les conditions pour que tous ses points ne se déplacent pas les uns par rapport aux autres. Il suffira pour cela , d'après le principe de d'AIcmbert, qu'il y ait équilibre eu chaque point entre les forces donuées et les forces égales et opposées à celles qui produiraient sur chaque point libre le umuvement qu'il a réellement, c'est-à-dire aux forces centripètes.
L'équilibre a donc lieu entre les forces données et les forces centrifuges considérées comme appliquées aux molécules elles-mêmes. Si la vitesse angulaire est désignée par o), les composantes de la force centrifuge seront ai'x, '•i'y, parallèlement aus axes des x et des^, et la troisième sera nulle si l'on prend l'axe de rotation pour axe des 2. On aura donc, pour déterminer la pression ,
{7 ) rf/t = p (X (£e -1- Trfr + Zdi + a^xdx + w'j'rf/).
Les termes introduits par la force centrifuge devront donc former une dîiTérentielIe exacte conjointement avec
p (Jidx -\-Y ify -\- Zdt).
Les surfaces de niveau auront pour équation commune
X<fc + Trf/-(- Zda -|-6»'(*rfx+j-flFj')= o, ou ' f = c,
en désignant par ^ la fonction de x, y, z dont le premier membre multiplié par p est la diOërentiellc , et par c une consUnte arbitraire.
Si la surface libre du liquide, homogène ouhétéro| est soumise à tine pression constante , elle sera elle-n une surface de niveau, et son équation sera comprise l'équation générale f^c. Si donc on connaît le vol total du liquide et la forme du vase dans lequel il est fermé , la valeur de la constante c se trouvera détermi
comme nous allons le voir dans quelques cas particuliers.
142. Supposons un liquide homogène pesant, dont la surface libre soit soumise à une pression constante P, et qui se trouve renferme dans un cylindre vertical dont le rayon de la base est a, dans lequel il s'élève à une hauteur A, à Tétai de repos. Prenons pour axe des z Taxe de ce cylindre dans le sens opposé à la pesanteur.
On aura alors
et l'équation ( 7 ) devient
dp z=z — gpdz -\- pw^ [xdx -+-jrdjr ).
L'équation générale des surfaces de niveau sera
— gdz H- «' (xdx -h fdjr) = 0, d'où
c étant une constante arbitraire.
Cette équation représente des paraboloïdes de révolution autour de l'axe des z , et c est la hauteur de leur sommet audessus du plan de la base.
La surface libre , étant soumise à une pression constante, est une surface de niveau, et son équation s'obtiendra en donnant à c une valeur particulière convenable dans la dernière équation. Cette valeur s'obtiendra en calculant le volume du liquide terminé à la surface qu'elle représente , et égalant le résultat à Tca^h. On trouve pour son expression
Z étant la valeur correspondante au point où la parabole
/deuxième partie. — - HYDROSTATIQUE. 221
génératrice rencontre le cylindre , valeur qui est égale à
On aura donc, pour déterminer c , l'équation
7rrt'/« = 7ra*c -t-
TTfl*»'
d'où Ton tire
if
CZ=z/l -^
L^équation de la surface qui termine le liquide est donc
11 reste maintenant à déterminer la pression en un point quelconque. Or, en intégrant la valeur de dp^ on trouve, en désignant par c une constante arbitraire,
/? = — gpz-^ p —(-a^'H-r') ■+- c'.
et Ton déterminera cJ en exprimant qu'à la surface on a p = P- on trouve ainsi
d'où
ce qui donne la solution complète de la question.
On peut observer que , lorsque le liquide part du repos et parvient à sa position d'équilibre dans le mouvement de rotation , le point de la surface libre qui était sur l'axe s'est abaissé autant que les points en contact avec le cylindre se sont élevés. En effet, la hauteur c du sommet du parabo-
loïde qui termine le liquide est égale à A j — » et la hauteur des points du paraboloïde qui sont sur la surface du cylindre, est
fl'«' a'«'
ou
Or, ces deux hauteurs différent de la hauteur primitive A, de la même quantité -j — •
143. Proposons-nous maintenant le cas où les molécules du liquide renfermé dans le vase seraient sollicitées par une force dirigée vers un point fixe et proportionnelle à la distance à ce point.
Si nous désignons par jex la valeur de cette force à Tunité de distance , et que nous prenions pour origine le point fixe vers lequel elle est dirigée , ses composantes seront
— fxjf, — f*r, — fxz.
Les composantes de la force centrifuge seront , en désignant par (0 la vitesse angulaire,
l'équation différentielle des surfaces de niveau sera donc
( w* — ^) {^dx -4- ydy) — ]i.zdz = o , d'où
LtZ'
c désignant une constante arbitraire.
Les surfaces de niveau sont donc des surfaces du second degré, de révolution autour de l'axe de rotation.
Elles seront des ellipsoïdes tant qu'on aura w* <[ ji.
Elles deviendront des plans perpendiculaires à Taxe lors-
