DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE

que l'on aura o* = |ut , et c'est ce que l'on peut vérifier immédiatement.

Enfin, pour les vitesses angulaires plus grandes que \j[i. , c'est-à-dire telles que l'on ait w* ]> /x, on 'a des hyperboloïdes à deux nappes ou à une nappe, suivant que c sera négatif ou positif.

Dans tous les cas, la valeur de la constante sera déterminée en calculant le volume de liquide compris entre la surface du vase et une des surfaces de niveau , et en Tégalant au volume de la masse donnée du liquide.

Dans le cas de co' ]> |:x , la grandeur de ce volume détermine non-seulement la valeur absolue, mais encore le signe de cette constante , c'est-à-dire fait connaître si l'hyperboloïde est à une ou à deux nappes ; et il est facile de s'en assurer généralement.

Pour cela , considérons une valeur quelconque de w et prenons pour c une valeur négative ; Thyperboloïde sera ^à deux nappes, et la surface libre du liquide sera concave, sans quoi la pression n'y serait pas dirigée vers l'intérieur. Si nous faisons décroître la valeur de c jusqu'à zéro, le cône asymptote restera le même , et, la surface de l'hyperboloïde s'en rapprochant continuellement, le volume qui s'y termine diminuera et tendra à se réduire à celui qui sera terminé au cône. Actuellement, partons d'une valeur positive de c, Fhyperboloïde sera à une nappe, et la surface libre du liquide sera convexe 5 de sorte que , si nous faisons diminuer c, le volume du liquide compris dans le vase ira en augmentant , parce que la surface qui le termine se rapprochera de plus en plus du même cône , auquel elle sera extérieure ; et pour c = o, ce volume acquiert sa plus grande valeur, qui est précisément la même que la plus petite pour les hyperboloïdes à deux nappes. D'où il suit que , parmi tous les hyperboloïdes des deux espèces , il n'y en a qu'un seul , et il y en a toujours un

si le vase est indéfini , qui corresponde à une masse donnée de liquide et à une vitesse angulaire donnée, plus grande

que v^.

Equilibre d'une masse JJuide dont les molécules s'attirent mutuellement et sont animées dun mouvement de rotation uniforme,

144. Dans les questions précédentes, la force qui sollicitait chaque molécule était connue , et indépendante de la position des autres^ mais dans le cas actuel il n'en est plus ainsi , puisqu'une molécule quelconque étant attirée par toutes les autres, la résultante de ces actions dépendra nécessairement de la figure du liquide; et comme cette figure est inconnue, les forces désignées parX, Y, Z le sont également, et le problème devient d'une difficulté beaucoup plus grande.

Lorsque le liquide est homogène et que l'attraction est en raison inverse du carré de la distance, on ne peut encore résoudre le problème qu'en supposant une vitesse angulaire très-petite, qui donne au liquide une forme peu différente de la sphère. Mais on peut toujours vérifier que la figure d'un ellipsoïde de révolution satisfait à la condition de l'équilibre , pourvu que la vitesse angulaire ne dépasse pas une certaine limite. M. Jacobi a été au delà, et a démontré qu'un ellipsoïde dont les trois axes sont inégaux peut aussi convenir; mais cette discussion nous entraînerait trop loin , et nous nous bornerons au cas de l'ellipsoïde de révolution.

Soit

l'équation d'un ellipsoïde de révolution autour de l'axe des

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z, et aplati aux pôles; les trois composàtntes X, Y, Z de l'attraction de la masse de cet ellipsoïde sur un point de sa surface ayant pour coordonnées x, y^ z, auront pour expressions

X=^^[>~(i-hV)arctangX], Y=^J^[X-.(i+V)arcteng>], Z = i^ ( I 4- V ) (arc tang X - X ) ,

p désignant la densité du liquide. Pour que l'équilibre ait lieu , il faut que la résultante de ces trois forces et de la force centrifuge dont les composantes sont w^jc, w* j", soit perpendiculaire en chacjue point à la surface de l'ellipsoïde ; ce qui donnera entre les coordonnées de cette surface et leurs différentielles l'équation suivante, dans laquelle on a fait

[X — (i -t->')arctang \ 4- 2tX*] {xdx -hfdy) -H 2 (arc tang X — X) (i -h X») z^fe = o.

Mais, d'après Téquation de l'ellipsoïde, on doit avoir entre ces mêmes coordonnées l'équation

xdx -hydx -H (i -H X') zdz = o.

La valeur de zdz devant être la même dans ces deux équations, quels que soient x^y, dx^ dy^ on aura la condition suivante , qui déterminera X ,

X — (i -\-V) arc tang X -f- 2eX* = 2 (arc tang X — X).

Cette équation a trois racines nulles, dont on ne tiendra aucun compte ; elle peut se mettre sous la forme

(i) 3 ^, arc tang X = o.