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226 COUHS DK MECANIQUE.

Chacune de ses racines réelles positives déterminera le rapport des deux axes de Tellipse génératrice, et leur grandeur se déduira du volume connu du liquide. Tout se réduit donc à la recherclie du nombre et de la valeur des racines de l'équation (i), qui sont égales deux à deux et de signes contraires , mais dont il suffira de considérer les valeurs positives. Ces racines sont les abscisses des points de rencontre de Taxe des x et de la courbe dont Téquation est

, . 3jr-H2f.r^

(2) /=— 5— — arctangx.

On trouve, en la différentiant,

dy 2x' [ex* + a (58 — i)ar' -4- 9*]

dx" (i-f-x»j{3 4-x'f

Cette expression est nulle pour a: = o , et positive pour des valeurs de x très-petites; de sorte que la courbe est tangente à Taxe des x à Torigine, et commence par s'élever au-dessus de cet axe du côté des x positifs.

La tangente à cette courbe sera parallèle à l'axe des x ^ aux points dont les abscisses seront données par l'équation

(3) e:c*-f-2(5e — i) x^-|- ge =r O.

Si cette équation n'avait pas de racines réelles, la courbe s'éloignerait toujours de l'axe des a:, et l'équation (i) n'aurait pas non plus de racines réelles. Ainsi , on reconnaît d^abord que l'on doit avoir

car sans cela une valeur positive de x^ ne satisferait pas à l'équation (3), et la condition de réalité des valeurs de a:* exigerait même que l'on eût e <^ 7. Mais cela ne suffit pas pour que l'équation (i) ait des racines réelles; il est nécessaire que la valeur de x qui donne le minimum de l'ordon-