DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE

née positive y, ou , en d'autres termes, la plus grande racine positive de Téquation (3) étant substituée dans (2) , donne pour y une valeur négative. Car alors la courbe coupera une première fois Taxe des x , avant d'arriver à ce point , et le recoupera une seconde fois au delà , puisque l'ordonnée finit par être positive et indéfiniment croissante. Si le minimum de j^ était nul, les deux racines de l'équation (i) seraient égales, et s'il était positif , elles n'existeraient pas. On voit par là que, pour que la question proposée soit possible , il faut que l'on ait l'équation (3) conjointement avec l'inégalité j^ <^ o correspondante à la plus grande racine de cette équation. Il en résulte, par l'élimination de e,

arc tang x — y-^ —~^ >o.

Le premier membre de cette inégalité est nul pour j:= o. Sa dérivée est aussi nulle pour cette même valeur, puis elle devient négative quand x croît-, elle redevient nulle pour la

seule valeur x = ^, à partir de laquelle elle reste constamment positive. Le premier membre de l'inégalité commence donc par être négatif, devient nul pour une seule valeur

de X qui est plus grande que ^3, puis reste constamment positif. On satisfera donc à l'inégalité par toute valeur de x plus grande que la racine positive de l'équation

(7 a:' -4- q) X arc tang x — -—^ r-r-^~^ = o.

On trouve facilement, pour valeur approchée de cette racine,

La valeur correspondante de e donnée par l'équation (3) est

et Ton reconnaît facilement que la valeur trouvée de x est la plus grande des deux qui, substituées dans Péquation (3), donneraient cette valeur de s ; mais cela n'était pas nécessaire à vérifier, parce que le maximum de j est nécessairement plus grand que zéro, puisque la courbe s'élève d'abord au-dessus de Taxe des x\ d'où il suit que si une valeur de X tirée de Féquation (3) donne j^ = o ou j^ <^ o , cette valeur correspond au minimum de j^, et ne peut être que la plus grande des deux racines de Féquation (3).

Toute valeur j;' de or, plus grande que 2,5293, fournit donc deux valeurs positives pour X , entre lesquelles x' sera compris. Mais , en considérant la plus grande valeur de x^ tirée de l'équation (3), on voit qu'elle varie en sens contraire de e ^ ainsi le problème aura deux solutions quand

on aura