II

entre 7 — 7^ et 7, condition qui ne peut être remplie en même temps que celle qui se rapporte au cas précédent.

i55. Les prismes ou cylindres homogènes peuvent aussi être en équilibre , en supposant leurs arêtes verticales , et il en serait de même si, au lieu d'être homogènes ils étaient composés de couches homogènes, de densité variable, et perpendiculaires aux arêtes. Dans ce cas , les centres de gravité du liquide déplacé et du corps solide étant nécessairement sur la même verticale , il suffirait que le poids du premier fût égal à celui du second pour que l'équilibre eût Heu. Si , au lieu d'un cylindre, on avait un solide de révolution, ses positions d'équilibre, en supposant son axe vertical , n'offriraient pas plus de difficulté^ il suffirait de partager le volume par un plan perpendiculaire à son axe, de telle sorte que le rapport de l'une des deux parties au tout fût égal à celui de la densité moyenne du corps à celle du liquide.

Stabilité de r équilibre des corps flottants.

iS6. L'équilibre d'un corps flottant est stable ou instable, suivant que ce corps tend à revenir vers sa première position, ou à s'en éloigner, lorsqu'il en a été tant soit peu écarté. Si ce corps est un prisme ayant ses arêtes horizontales , il est facile de voir qu'en général ses positions d'équilibre stable et instable se succèdent alternativement. En effet, si on l'écarté d'une manière continue d'une position d'équilibre stable, pour le faire parvenir à une autre position stable, il tendra à revenir à la première jusqu'à un certain point, passé lequel il tendra à s'en éloigner pour se rapprocher de la seconde position. Il existe donc une position intermédiaire telle que, quand on l'écarté d'un côté ou de l'autre, il tend à s'en éloigner 5 et, par censé-

DEUXIÈME PAETIE. HTDROSTATIQUE. ^43

quent , cette position est celle d'ua équilibre instable. Donc, entre deux positions d'équilibre stable , il y en a une d^équilibre instable, et réciproquement.

157. Avant d'aller plus loin, il est bon d'observer que si un corps est coupé par un pla«, le volume situé d'un côté de ce plan sera équivalent à celui qu'on obtiendrait en le coupant par un autre plan quelconque , faisant un angle infiniment petit avec le premier, pourvu qu'il passe par le centre de gravité de l'aire de la première section, c'està-dire, pour parler plus exactement, que la différence des deux volumes sera infiniment petite par rapport au volume compris entre ces plans.

' En effet, en négligeant les quantités infiniment petites par rapport à ce volume , on peut regarder la surface du corps comme remplacée , dans le voisinage de la section , par une surface cylindrique qui lui serait perpendiculaire. Or on sait qu'un cylindre tronqué a pour mesure le produit d'une de ses bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la seconde sur le plan de la première 5 d'où il résulte que toutes les sections menées par ce point, qui sera leur centre de gravité, donneront des cylindres tronqués égaux en volume , et , par conséquent , que les volumes compris entre deux sections quelconques , dont l'un s'ajoute et l'autre se retranche à l'un des cylindres tronqués pour former l'autre, sont équivalents.

D est évident que la proposition énoncée et sa réciproque sont des conséquences de ce théorème.

158, Cela posé, considérons un corps en équilibre sur un liquide homogène ^ les centres de gravité de ce corps et du liquide déplacé sont situés sur une même verticale, et les poids de ce liquide et du corps sont égaux. Déplaçons-le maintenant infinimeiit peu d'une manière quelconque, en imprimant à tous ses points des vitesses infiniment petites*,

244 COURS BB MKGANIQUE.

réquilibre sera slable, si ce déplacement reste toujours inaniment petit, et instable dans le cas contraire; la question consiste à distinguer ces deux cas Fun de Tautre, et c'est ce que nous allons faire au moyen du principe des forces vives.

Soient LQM [fig- 9) la section de la surface du corps par le plan horizontal qui termine le liquide , ou la ligne de flottaison ;

ANBI la position qu'a prise, après le dérangement, la ligne de flottaison relative à l'équilibre \

L'NM'I la section faite dans le corps par le plan horizontal mené par le centre de gravité G de l'aire ANBI que nous désignerons par b ;

G le centre de gravité du corps ;

O celui du liquide déplacé par la partie ADB du corps; Y le volume de ce liquide dont le poids est égal à celui du corps ;

Q l'angle de GO avec la verticale;

^ la distance du point C au niveau du liquide, qui sera pris pour plan des x et y^ GO = a ;

p la densité du liquide, et M la masse du corps. Les forces qui sollicitent le corps sont la pesanteur et les pressions exercées par le liquide sur la partie plongée de sa surface. La première se réduit à une force verticale, agissant de haut en bas et égale au poids du corps , qui est M^, ou gf oV. Les autres produisent le même effet que si tous lès* éléments de la partie plongée du volume du corps étaient sollicités par des forces verticales, dirigées de bas en haut et égales aux poids de ces éléments , considérés comme formés du liquide lui-même.

Les composantes X, Y sont donc nulles pour tous les points; et si Ton prend l'axe des z dans le sens de la pesanteur, on aura Z = ^ pour tous les éléments du corps, et Z = — g pour les éléments de la partie plongée , consi-

10EUXIKME IPARTIB. — HTDftOSTATIQUE . ^45

aérée comme formée du liquide. En considérant ainsi Z, le principe des forces vives donnera Téquatiou

Les vitesses étant supposée^très^petites , le premier membre est une quantité très-petite du second ordre, et dans le calcul du second membre , on n'aura le droit de négliger que les termes qui n'influeraient sur les résultats que de quantités d'un ordre supéri^r au second.

Considérons d'abord les termes du second membre qui proviennent du poids des éléments du corps. On aura alors

fZdz=zgz et 2ldmJ'Zdz=z2glzdm:=z2gMziy

Zi étant le z du centre de gravité du corps.

Quant à la partie immergée, nous la considérerons d'abord comme composée de la partie comprise entre les sections horizontales LQM , L' NM', et du volume situé audessous d^ la dernière. Ce dernier volume est lui-même égal au volume ADB ou V, augmenté du volume INBM', et diminué de ÏNL/A.

La valeur de z étant actuellement — g^ , on a

fZdzz='^g{z-^z,)y

et cette intégrale restera constamment égale à gzo quand z sera négatif, la force Z devenant alors nulle. En reportant gZo dans la constante totale, on écrira seulement

fZdz ^z:-' gZ

Si don désigne l'élément de volume, on aura

et

2J.dmJ^Zdz = — ^gpjzdbi.

Il ne s'agit doue plus que de calculer, pour les quatre \o-

^46 COURS DE MiCAHIQUE.

lûmes que nous venons d'indiquer, J zdtù^ qui est le mo« ment, par rapport au plan XY, du volume de la partie plongée , dans la position du corps à une époque quelconque.

Le déplacement étant supposé infiniment petit, les diverses sections que nous avons JEiites dans le corps peuvent toutes être considérées comme équivalentes à i^ ^ et la portion comprise entre les deux qui sont parallèles , peut être regardée comme cylindrique. Ainsi, pour cette première partie, on aura ^

Pour le volume ADB , on aura

ou , en remplaçant cos 6 par i >

fzdoi = V«, — Vfl H f

si le point O est au-dessus^ de G; [dans le cas contraire, il faudrait changer le signe de a. Le volume INBM' peut se décomposer en éléments prismatiques , ayant leurs arêtes verticales, et pour bases les éléments de l'aire ANBI.

Soient £?X un de ces derniers , situé en R 5 RS = u la perpendiculaire abaissée sur IN , et RT la liauteur du prisme. Son volume sera RT^fXcosd, expression qu'on peut remplacer par uOdX'j en la multipliant par le z du milieu de RT, qui est Ç 4- j m tang 9 , ou simplement f-l-7«0, on aura la valeur de fzd^ relativement à cet élément : on trouvera ainsi

expression que l'on devra intégrer dans toute l'étendue de l'aire INB.

Mais on trouverait une expression semblable pour les éléments du volume ENLA , à l'exception du z du milieu du

DEUXliME PARTIE. — HYDROSTATIQUE . 247

prisme, qui serait égal à ^ — i^^'^ et comme les termes provenant de ce volume doivent être changés de signe, ils seraient exprimés par

D'où Ton voit qu'il suffira de faire la somme des termes de la forme

dans toute l'étendue de l'aire ANBI , en regardant u comme positif dans la partie INB, et comme négatif dans l'autre. Mais fud'k est nul , puisque IN contient le centre de gra-

vite de Faire ANBI 5 il reste donc -Ju^d\. Désignons par

bh^ l'intégrale /«* ûÎX, qu on peut appeler le moment d'inertie de l'aire ANBI par rapport à NI-, l'expression précédente

bh} ô*

1 • ^ j vit w

deviendra •

Réunissant les diverses parties de fzdtùj il vient /zrfw = 1 ÔÇ» -f- 1 bh'^^ -}- Vz, — Va + ^^)

et l'équation (i) devient, en observant que M=Vp et comprenant le terme *igp\ a dans la constante,

si le point O était au-dessous de G, il faudrait, comme nous l'avons fait remarquer, changer a en ^ — a.

La constante c se déterminera par l'état initial 5 et si les vitesses initiales sont nulles ou infiniment petites, c sera elle-même infiniiâent petite.

Cela pdsé, le premier membre de l'équation (2) étant essentiellement positif, il en sera de mêiae du second , et par conséquent les termes négatifs doivent constamment donner une somme infiniment petite, puisqu'elle doit être

248 COURS DR UÉCAVIQUE.

moindre que c ) ce qui exige que 9 et ^ reslent infiniment petits. D'où l'on conclut que, lorsque le centre de gravité du corps est au-dessous du centre de gravité du liquide déplacé dans l'état d'équilibre j le dérangement restera toujours infiniment petit, et par conséquent V équilibre est stable. Mais si le centre de gravité du corps est audessus de celui du liquide déplacé, l'équation (2) se cbange dans la suivante :

Or, quoique c soit infiniment petit , et (^ pourraient cesser de Fétre si tous les termes qui renferment leurs carrés n'étaient pas négatifs.* Il est donc nécessaire, pour la stabilité de l'équilibre , que Ton ait

bh} — ûV]>o, ou «<C-^i

et comme bhf change en même temps que la direction de IN , il faut que l'inégalité précédente ait lieu , en prenant la plus petite valeur dont bh* soit susceptible , quand on suppose que IN prend toutes les directions autour du centre de gravité C de Taire ANBI. L'équilibre peut donc encore être stable lorsque le centre de grauàé du corps est au-dessus de celui du fluide déplacé; il suffit que la distance de ces deux points soit moindre que le plus petit des moments (Vinertie de l'aire de la section à fleur d'eau par rapport aux droites menées par sof^ centre de gravité , divisé par le volume immergé.

Oscillations d'un corps flottant.

t59. Supposons qu'un corps symétrique, quant à sa figure et à sa densité, par rapport à un plan vertical, soit écarté infiniment peu de la position où il est en équilibre stable à