DEUXIÈME PARTIE. — UYPEOSTATIQUE
la surface d'un liquide , de telle sorte que son plan de symétrie soit resté vertieal ^ et supposons, en outre, que toutes les vitesses initiales soient nulles.
Il est d*abord évident que tout étant symétrique, tant dans les forces que dans le déplacement, par rapport au même plan vertical, ce plan restera constamment vertical-, et la position du corps sera déterminée à chaque instant , si Ton connaît la position d*un de ses points, par exemple de son centre de gravité, et la direction d'une ligne fixe dans ce corps , par exemple celle qui , dans Fétat d'équilibre , contenait les centres de gravité du corps et du liquide déplacé.
Nous emploierons les mêmes dénominations que dans la question précédente, et il s'agira de déterminer 9 et ^(/îg*. lo) . Lorsque ces quantités seront connues , la position du centre de gravité le sera aussi. Car, toutes les forces étant verti* cales , ce point se meut sur la verticale passant par sa position initiale; on pourra donc le construire dès qu'on connaîtra l'angle et la distance Ç du point C au niveau du liquide. D'ailleurs l'expression de son ordonnée GF=Zi peut facilement s'obtenir. Soient GH = /, CH = p, on aura
2, = / CCS ô* — p sinB 4- Ç,
ou , en négligeant les infiniment petits d'ordres supérieurs au premier,
Le problème est donc entièrement ramené à la détermina* tion de 9 et^.
Le centre de gravité G se mouvant comme si toute, la masse M y était réunie et que toutes les forces y fussent appliquées, on en déduira facilement une première équation entre 6 et (^. En effet , il suffira de supposer en G deux forces verticales : l'une égale kMg^ et dirigée dans le sens de la
a5o Goums de MicANiQUB.
pesanteur^ Tautre, dirigée en sens contraife et égale au poids du liquide déplacé. Or^ le» volâmes BGM', ACU éunt équivalents , le volume LDM est égal kY+b^^et son poids ^•^ gP^ -^ gP^K^ ^^ oomine MssjpV, la résiultame de toutes les forces sera — g pbÇ. On aura donc
M^ = ^gebK, ou ^ + C^ç = o,
OU
Nous obtiendrons une seconde équation en considérant le mouvement de rotation autour du centre de gravité ^ supposé immobile.
Le poids du corps étant détruit^ puisque le centre de gravité est fixe, il ne reste à considérer que la somme des moments des forces provenant de Faction du liquide, et qui sont appliquées , comme nous l'avons déjà dit, à tous lea points de la partie immergée du corps.
Le moment résultant de toutes les forces relatives à la partie LML^ M', et considéré comme positif lorsqu'il tend à diminuer Fangle 9, est
gpb^{l smB -\- p cos ô ) ,
et peut se réduire à gpbp^: Il faut y ajouter les moments provenant de ADB, M'GB, et en retrancher celui qui proviendrait de ACL'.
Or, la résultante de^ forces veriicales appliquées à tous les points du volume ADB est appliquée en O et égale à gpy\ le marnent résultant sera donc gpY a sin &, ou gpaYQ.
Si maintenant nous décomposons le volame M^ CB comme dans la question précédente, le moment du prisme ayant pour base ^X sera, en désignant par ti sa distance à
DEUXIÈME PABTIE. — HYDHOSTATIQUE. sSl
la perpendiculaire au plan de symétrie menée par C ,
gpQud'k{lsia d +/' cos + « cos O), OU simplement
et I^on devra faire la somme des expressions semblables dans toute l'étendue de l'aire projetée suivant CB.
Quant au volume ÂGL', il faut supposer à tous ses points des forces dirigées dans le sens mêm^ de la pesanteur, et le moment d'un élément dX sera
tt^ désignant les distances dirigées en sens contraires de celles qui sont désignées par u. Si donc on intègre
gpBu{p-hu)dl
dans toute Tétendue de Faire b^ en regardant u comme positif à droite de C > et comme négatif à gauche, on aura la somme algébrique des moments correspondants aux deux parties M'CB, ACL\ On trouve ainsi
Or fud\ est nul , puisque le centre de gravité de Taire b est sur la droite projetée en C ; et si l'on pose encore
fu^d\z=:bh\
la dernière expression se réduit à
gbf^hK
En réunissant tous les moments , on obtient
et l'on devrait changer a en — a si le point O était au-dessous de G.
25a COURS DE MÉCANIQUE.
Or, d'après la ihéorie du mouyement autour d'un axe fixe, cette somme de moments doit être égale à
Mk* étant le moment d'inertie du corps par rapport à la perpendiculaire au plan de symétrie , menée par son centre de gravité ] on aura donc , en remplaçant M par p Y,
Les équations (i) et (2) renferment la solution complète de ]a question ; elles se rapportent au cas où le centre de gravité du corps est au-dessous de celui du liquide déplacé dans la position d'équilibre. Il suffira d'y changer le signe de a , dans le cas où ces deux points seraient placés d'une manière inverse.
160. Intégrons d'abord ces équations en supposant que le corps soit, en outre, symétrique par rapport au plan mené par GO perpendiculairement au premier; ce qui est à peu près le cas des bâtiments de mer.
Nous aurons alors p = o, et les équations deviennent
Ces équations peuvent s'intégrer indépendamment Tune de l'autre j et l'on trouve
ç = „cos(Yf +«'), e=.c-os[iy/ffi!^)^6'].
i l'on suppose, pour plus de simplicité, que les vitesses
DfiUXliME PAETIB. — HYDROSTATIQUE. ?.53
ini liâtes soient nulles, on aura
d^ dO
T. = °' dF^""^
en même temps que ^ = o , ce qui exige que Ton ait
et les valeurs de 6 et Ç seront
(3> Ç=:«cos^y/A., = 6cos-^^A IÎ: );
les constantes a, ë représentent alors les valeurs initiales de Ç et ô, et l'on voit que ei ^ resteront constamment trèspetits , puisquMls seront tout au plus égaux k a et S.
La valeur de Zi étant Z + Ç, le mouvement du centre de gravité G sera le même que le mouvement vertical du point C. Ces mouvements, ainsi que celui de la droite GO autour du point G , sont les mêmes que ceux de pendules simples.
Si le point G est au-dessous de O , la valeur de 9 sera
' 4 / ClÈ^ilZLl
ô = 6 ces ^ i / 2-Li:-__ÎLJ. ,
et si Ton a
^A^— iiV> o,
6 restera toujours inférieur à 6 , et^^r suite très-petit.
Mais si l'on avait iA' — a V ^ o, la valeur de 9 s'exprimerait par des exponentielles , et ne resterait plus trèspetite lorsque t croîtrait indéfiniment. La condition de stabilité de l'équilibre est donc JA* — ay^ô lorsque' G est au-dessus de O. C'est celle que nous avions déjà trouvée plus généralement.
